Lineare diskrete Schwingungssysteme unter stationärer zufälliger Fremderregung

Zusammenfassung

Im Unterschied zu 4. wo die den Schwingungsvorgängen zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen deterministisch sind, liegen bei zufälliger Erregung stochastische Bewegungsgleichungen vor, deren Lösungen zwar formal mit den Lösungen der entsprechenden deterministischen Schwingungsgleichungen übereinstimmen (s. 3.), im Gegensatz zu diesen aber nicht mehr deutbar sind, da sowohl die Schwingungserregungen (Eingänge) als auch die Schwingungsreaktionen (Ausgänge) keine analytisch beschreibbaren Zeitfunktionen mehr darstellen. Anschaulich gesprochen stellt der Ausgangsprozeß genau wie der Eingangsprozeß ein Ensemble von Funktionen dar — die Gesamtheit aller seiner Realisierungen —, bei den hier betrachteten stetigen Zufallsprozessen sogar ein überabzählbar unendliches Ensemble. Dies allein macht bereits deutlich, daß nunmehr ein direktes Vorgehen wie in 4. zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsdichten des Ausgangs bei gegebenen Eingangswahrscheinlichkeitsdichten nicht möglich ist. Die Bestimmung der für die vollständige Charakterisierung der zufälligen Reaktionen eines Schwingungssystems benötigten n-dimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichten (n beliebige natürliche Zahl) stellt bei zufälliger Fremderregung ein im allgemeinen ungleich schwierigeres Problem dar, als das bei zufälligen Anfangsbedingungen. Oftmals reicht jedoch die Kenntnis der Mittelwertfunktion (3.29) bzw. (3.81) und der Korrelationsfunktion (3.30) bzw. (3.82) aus, um die zufälligen Reaktionen von Systemen mit einem bzw. mit mehreren Freiheitsgraden im statistischen Sinne ausreichend zu charakterisieren. Dies ist dann der Fall, wenn die Erregung einer Normalverteilung gehorcht (s. 2.1.7) oder wenn ein System mit schwacher Dämpfung vorliegt, bei dem die Abklingzeit der Impulsantwort sehr viel größer ist als die Korrelationszeit (s. S. 62) der zufälligen Erregung, so daß auf Grund des Grenzwertsatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Schwingungsreaktion in ausreichender Näherung der Normalverteilung gehorcht, obwohl die Erregung einer anderen Verteilung genügt. Aber auch in vielen anderen Fällen liefert die Korrelationstheorie wesentliche Informationen, wie an Hand der Tschebyschewschen Ungleichung (1.96) zu erkennen ist.