Das Stabilitätsverhalten linearer Differential- und Differenzengleichungen und der Grundgedanke der direkten Methode von Ljapunow

Zusammenfassung

Die Untersuchung des Stabilitätsverhaltens von gewöhnlichen Differentialgleichungen

$$\dot x = f\left( {x,t} \right)$$

(3.1)

ist dann auf der Grundlage der im Abschnitt 2.1. formulierten Begriffe recht einfach möglich, wenn ihre Lösung

$$x = x\left( t \right) = x\left( {x^0 ,t_0 ,t} \right)$$

(3.2)

in expliziter Form gewonnen werden kann. Dann hat man (3.2) nur in die Beziehungen des Abschnitts 2.1. einzusetzen und kann unmittelbar auf das Stabilitätsverhalten schließen. Leider ist dieses Vorgehen (indirekte Methode) nur in wenigen Spezialfällen möglich, weil man die Lösung (3.2) nicht in expliziter Form kennt bzw. weil eine explizite Lösung von (3.1) grundsätzlich nicht möglich ist. Ähnlich liegen die Verhältnisse bei Differenzengleichungen und mit noch stärkeren Schwierigkeiten bei Differential-Differenzengleichungen, bei partiellen Differentialgleichungen und allgemeineren Funktionalgleichungen. Aus diesem Grunde ist für praktische Belange die Anwendung der direkten Methode von Ljapunow [22] in den meisten Fällen unumgänglich, weil hier die Stabilitätsbedingungen ohne die Kenntnis der ungestörten Bewegung allein aus den im System auftretenden Funktionen gewonnen werden.