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Lagrange-Formalismus

  • Eduard Herlt
  • Nikolaus Salié
Part of the Reihe Wissenschaft book series (RW)

Zusammenfassung

Bevor wir uns auf die Elektrodynamik und (Kontinuums-) Mechanik spezialisieren, betrachten wir hier eine allgemeine Feldtheorie, deren Bewegungsgleichungen aus einem Variationsprinzip mit einer Lagrange-Dichte L A , ψ A,v ) ableitbar sind, ψ A (x 1 ...x 4), A = 1... N, sind N Feldfunktionen, die Komponenten verschiedener geometrischer Objekte sein können. Variiert werden die φ A . Auf der Berandung verschwinde die Variation \({\delta _{\psi A}} \equiv {\tilde \psi _A} - {\psi _A}\) Mit \(\delta \left( {{\psi _{A,v}}} \right) \equiv {\tilde \psi _{A,v}} - {\psi _{A,v}} = {\left( {{\delta _{{\psi _A}}}} \right)_{,v}}\) folgt aus dem Variationsprinzip
$$\delta \frac{1}{c}\int\limits_{{v_4}} {L{d^4}x} = \frac{1}{c}\int\limits_{v4} {L\left( {{{\tilde \psi }_A},{{\tilde \psi }_{A,v}}} \right){d^4}x - \frac{1}{c}\int\limits_{{v_4}} {L\left( {{\psi _A},{\psi _{A,v}}} \right)} {d^4}x} = 0$$
(6.1/1)
$$\int {\left\{ {\frac{{\partial L}}{{{\partial _{\psi A}}}} - {{\left( {\frac{{\partial L}}{{{\partial _{{\psi _{A,v}}}}}}} \right)}_{,v}}} \right\}} {\delta _{{\psi _A}}}{d^4}x + \int {{{\left( {\frac{{\partial L}}{{{\partial _{{\psi _{A,v}}}}}}\delta {\psi _A}} \right)}_{,v}}{d^4}x = 0} $$
(6.1/2)
Dabei wurde partiell integriert. Der zweite Term kann nach dem Gaussschen Satz in ein Oberflächenintegral über den Rand verwandelt werden und verschwindet wegen δψ A (Rand) = 0. Der erste Term liefert dann wegen der Willkürlichkeit von δψ A die Feldgleichungen
$$\frac{{\partial L}}{{{{\partial }_{{\psi A}}}}} \equiv \frac{{\partial L}}{{{{\partial }_{{\psi A}}}}} - \frac{\partial }{{\partial {{x}^{v}}}}\left( {\frac{{\partial L}}{{{{\partial }_{{\psi A,v}}}}}} \right) = 0$$
(6.1/3)
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Copyright information

© Akademie-Verlag, Berlin 1978

Authors and Affiliations

  • Eduard Herlt
    • 1
  • Nikolaus Salié
    • 1
  1. 1.Sektion PhysikFriedrich-Schliller-Universität JenaDeutschland

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