Reihenentwicklung holomorpher Funktionen. Meromorphe Funktionen. Die Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß

Zusammenfassung

Die Frage nach der Holomorphie der Grenzfunktionen von Taylor- und Laurentreihen wurden in den Paragraphen drei und vier des zweiten Kapitels positiv beantwortet. Mit der umgekehrten Fragestellung, nämlich der Entwickelbarkeit holomorpher Funktionen durch diese beiden Reihentypen beschäftigen sich nun die ersten beiden Paragraphen dieses sechsten Kapitels. In jeder Kreisscheibe, die im Holomorphiebereich liegt, kann eine holomorphe Funktion in eine Taylorreihe entwickelt werden (§1), während die Darstellung durch eine Laurentreihe auf jedem Kreisring, auf dem die Funktion holomorph ist, möglich ist (§2). In den Paragraphen drei und vier werden die Nullstellen und die isolierten Singularitäten von holomorphen Funktionen analysiert. Paragraph drei beschränkt sich hierbei auf endliche Punkte, wogegen im vierten Paragraphen der unendlich ferne Punkt mit Hilfe der Riemannschen Zahlensphäre ℙ (siehe Kapitel III, §5) einbezogen wird. Im anschließenden Paragraphen (§5) wird mit den meromorphen Funktionen eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen eingeführt. Deren Bedeutung liegt darin, daß die Menge der auf einem Gebiet meromorphen Funktionen einen Körper darstellt, also mit nichtverschwindenden Funktionen dividiert werden kann. Der letzte Paragraph beschließt das Kapitel mit zwei wichtigen Sätzen der Funktionentheorie, dem Satz von Mittag-Leffler und den Weierstraßschen Produktsatz. Hierbei soll jeweils der dritte Punkt (6.1.3 bzw. 6.2.3) eine Art Konstruktionsvorschrift geben, wie man sich im Prinzip eine meromorphe (bzw. holomorphe) Funktion f auf ganz ℂ zu vorgegebenen Polstellen und Polen (bzw. Nullstellen und Nullstellenordnungen) konstruieren kann.