Alternde Elemente

Zusammenfassung

Es sei F(t) die Verteilungsfunktion der Lebenszeit (VFL) eines Elements, F(+0) = 0. Um den in der Einleitung beschriebenen Effekt des Alterns eines Elements mathematisch erfassen zu können, definieren wir für alle x ≧ 0 mit F(x) < 1 eine Funktion F _x (t) durch

$${F_x}(t) = P(X - x < t|X\underline{\underline > } x),$$

wobei wir mit X die zufällige Lebenszeit des Elements bezeichnen. Es ist also F _x (t) die Verteilungsfunktion der „restlichen“ Lebenszeit des Elements unter der Bedingung, daß es bereits x Zeiteinheiten ohne auszufallen gearbeitet hat. Aus der Definition folgt unmittelbar

$${F_x}(t) = {{F(t + x) - F(x)} \over {\overline F (x)}},$$

((2.1))

wobei wieder $\overline F (t): = 1 - F(t)$ gesetzt wird (diese Bezeichnungsweise wird im folgenden auch für beliebige Verteilungsfunktionen beibehalten). Insbesondere erhalten wir wegen (1.2) für den Erwartungswert der restlichen Lebenszeit M(x) ≔ E(X − x | X ≧ x)

$$M(x) = \mathop \smallint \limits_0^\infty {{\overline F (t + x)} \over {\overline F (x)}}{\rm{d}}t.$$

((2.2))