Zusammenfassung
Das Binomial — Modell ist die gebräuchlichste und zugleich praktikabelste Approximation der Black/Scholes Formel85. Ebenfalls aufbauend auf dem Prinzip der risikoneutralen Bewertungsrelation wird jedoch ein diskreter Zeit- und Zustandsraum unterstellt. Dies bedeutet, daß die Aktienkurse nur als diskrete Werte aufgrund eines Handels zu diskreten Zeitpunkten auftreten, eine Annahme, die der Praxis des Wertpapierhandels wesentlich näher kommt, als die Unterstellung eines stetigen Zeit- und Zustandsraumes bei der Bewertung nach Black/Scholes. Der Binomial — Ansatz erfordert im Gegensatz zu anderen Approximationsprozeduren eine separate Herleitung der Bewertungsbeziehung, die im folgenden skizziert wird:
Zunächst soll das Bewertungsprinzip an einem Zwei — Zeitpunkt — Zwei — Zustandsmodell erläutert werden, in dem der zweite Zeitpunkt der Fälligkeitstermin eines Calls ist. Für die Entwicklung des Aktienkurses S wird angenommen, daß er entweder mit der Wahrscheinlichkeit q auf den Wert u • S steigt oder mit der Wahrscheinlichkeit 1 — q auf den Wert d • S sinkt.
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Literatur
Das Binomial — Modell wurde fast gleichzeitig und offensichtlich unabhängig voneinander von Rendleman und Banter (vgl. Rendleman/Banter (1979), S. 1093 ff.) und Cox, Ross und Rubinstein (vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 229 ff.) entwickelt Es wird jedoch zumeist mit den letztgenannten Namen in Verbindung gebracht.
Gilt beispielsweise u > d > r, so ist ein Engagement in Aktien in jedem Falle erfolgreicher als eine Anlage in festverzinslichen Papieren, denn auch bei Kursverfall ist die Rendite der Aktienanlage höher. Als Arbitrageaktion lohnt sich also der Kauf von Aktien auf Kredit.
vgl. zur Darstellung von möglichen Arbitragetransaktionen Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 233 f. Arbitragemöglichkeiten werden auf funktionsfähigen Märkten nur kurze Zeit Bestand haben, so daß im allgemeinen die Arbitragefreiheitsannahme gültig ist
vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 235 f.
Tabellen der Binomialverteilung enthalten oftmals nur die Werte der Binomial — Verteilungsfunktion. Die komplementären Werte ergeben sieh durch Subtraktion der Verteilungsfunktionswerte von 1.
Kurs = 40, Basis = 40, Zins = 5% p.a., Volatilität = 0,3 p.a., Laufzeit = 30 Tage.
vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 246 ff.
Cox, Ross und Rubinstein führen für den Binomial — Callpreis noch einen weiteren Konvergenzbeweis, nämlich die Annäherung an einen Callpreis, der aufgrund eines Sprung — Prozesses berechnet wird. Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 254 f. Aktienkurse, die einem Sprung — Prozeß folgen, ändern sich mit großer Wahrscheinlichkeit im Zeitablauf nur wenig. Mit einer geringen Wahrscheinlichkeit ist jedoch auch ein signifikanter Sprung möglich. Sprung — Prozesse ermöglichen somit einen Übergang von stetigen zu diskreten Modellen und umgekehrt. Vgl. Cox /Ross (1976), S. 148 ff. Spezielle Sprung — Prozesse können mit der Methode der finiten Differenzen erfaßt werden. Vgl. Brennan/Schwartz (1978), S. 464 und S. 470.
Allen Berechnungen lagen einheitlich folgende Parameter zugrunde: Kurs = 40, Laufzeit = 120 Tage, Zins = 5% p.a., Volatilität = 03 p.a.
vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 255 f. und Hull (1989), S. 226 ff.
Folgende Parameter wurden gewählt: Kurs = 40, Basis = 40, Zins = 5% p.a., Volatilität = 0,3 p.a., Dividende jeweils 0,5, d.h. 1,25% des aktuellen Aktienkurses. Eingerahmte Zahlen sind Cum — Dividende Kurse im Dividendentermin. Vgl. auch die Erläuterungen zu Abbildung 4.1.1.
BFCD = binomial fixed cash dividend = Binomialmodell mit konstanten absoluten Dividendenzahlungen. Folgende Parameter wurden verwendet Kurs = 40, Zins = 5% p.a., Volatilität = 0,3 p.a., Dividende = 0,5, Laufzeit = 30 Tage.
Kurs = 40, Basis = 40, Zins = 5% p.a., Volatilität = 0,3 p.a., Dividende jeweils 0,5, Laufzeit = 120 Tage.
vgl. Schroder (1988), S. 56 ff.
Insoweit stimmt der Ex — Dividende Ansatz mit der Vorgehensweise zur Berechnung des europäischen Black/Scholes Optionspreises bei Dividendenzahlungen überein.
Analytische Bewertungsmodelle für Calls auf nicht — ausschüttungsgeschützte Aktien gehen von dieser Annahme aus. Vgl. Roll (1977), S. 252 und die Ausführungen in Kapitel 3.8.
Die eingerahmten Zahlen bezeichnen die Aktienkurse, die der Berechnung des inneren Wertes am letzten Termin vor einer Dividendenzahlung zugrundeliegen.
BFCED = binomial fixed cash ex dividend = Ex — Dividende Approximation des Binomialmodells mit konstanten absoluten Dividendenzahlungen.
vgl. Schroder (1988), S. 58ff.
Die eingerahmten Zahlen sind Cum — Dividende Kurse, die der Berechnung des inneren Wertes zugrundeliegen.
BPCCD = binomial fixed cash cum dividend = Binomialmodell mit konstanten absoluten Dividendenzahlungen in der Cum — Dividende Approximation.
Wegen der sehr hohen Rechenzeiten und Hardwareanforderungen wurden für lange Laufzeiten in den Beispielsrechnungen maximal 140 Iterationen durchgeführt Auch für kurze Laufzeiten kann, abhängig von der Lage der Dividendentermine, der BFCD Ansatz sehr rechenaufwendig werden.
vgl. Smith (1970), S. 81 ff.
Der dargestellte Parametermix ist in der Literatur weithin gebräuchlich. Vgl. Geske/Shastri (1985 a), S. 56 ff., Hull/White (1988), S. 246 ff., Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 259, Geske/Johnson (1984), S. 1519 ff. Allen hier durchgeführten Berechnungen wurde eine Jahreslänge von 360 Tagen zugrundegelegt, damit die Ergebnisse mit den in den genannten Quellen veröffentlichten Resultaten vergleichbar sind.
Die sogenannte analytische Lösung ist somit keine “richtige” analytische Lösung in dem Sinne, daß sie als Kriterium zur Beurteilung der Konsistenz herangezogen werden könnte. Bei den in Kapitel 3.8 erwähnten Weiterentwicklungen des Black/Scholes Ansatzes sind beispielsweise Werte einer multivariates Normalverteilung notwendig, die nur durch einen numerischen Ansatz bestimmt werden können.
Im Gegensatz dazu stehen die Ansätze BFDY, BFCED und BFCCD, die hinsichtlich der Dividendenzahlungen nur eine Approximation des BPCD Ansatzes darstellen.
vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 258 ff.
Kurs = 40, Basis = 40, Zins = 5% p.a., Volatilität = 0,3 p.a., Laufzeit = 30 Tage.
vgl. die Abbildungen in Kapitel 4.5.
Kurs = 40, Basis = 40, Volatilität = 0,3 p.a., Zins = 5% p.a., Laufzeit = 30 Tage (ein Dividendentermin) oder 120 Tage (zwei Dividendentermine), Dividende jeweils 0,5.
Kurs = 40, Basis = 35, 40 oder 45, Laufzeit = 30, 120 oder 210 Tage, Volatilität = 0.3 p.a., Zins = 5% p.a., Dividendentermine nach 15, 105 und 195 Tagen mit jeweils 0.5 oder 1.25% Ausschüttung. Die Iterationen wurden wiederum sukzessive um 2, 8 bzw. 14 Einheiten erhöht.
Wegen des erheblichen Zeitaufwandes wurden die BFCD Ergebnisse für maximal 140 (30 Tage und 210 Tage Laufzeit) und 160 Iterationen (120 Tage Laufzeit) berechnet. Def Bedarf an Rechenzeit ist hier noch wesentlich höher als bei der Bestimmung der Callwerte, da permanent auf vorzeitige Ausübung getestet werden muß.
Control Variate Verfahren wurden im Rahmen der Optionsbewertung zuerst zur Effizienzsteigerung von Monte Carlo Simulationen angewendet, vgl. Boyle (1977), S. 326. Eine Anwendung im Rahmen des Binomialansatzes wurde von Hull und White vorgeschlagen, vgl. Hull/White (1988), S. 243 ff.
Die numerische Lösung schwankt in Abhängigkeit von der Rechengenauigkeit. Je feiner die Diskretisierung, desto geringer fällt ceteris paribus die Schwankung um den exakten analytischen Wert aus, d.h. desto kleiner ist die Varianz der Schwankung.
Hull und White legen der von ihnen verwendeten Effizienzkennzahl zugrunde, daß bei einer gegebenen Anzahl von Iterationen bei Verwendung des Control Varíate Ansatzes doppelt so viele Rechenoperationen durchzuführen sind wie bei Verwendung des Standard — Binomialansatzes. Dies ist sowohl bei der Bewertung von Puts als auch von Calls wegen des Einsatzes von effizienteren Prozeduren zur Berechnung der europäischen Werte lediglich eine sehr pessimistische Schätzung. Vgl. Hull/White (1988), S. 245.
Kurs = 40, Volatilität = 0,3 p.a., Zins = 5% p.a., Laufzeit = 120 Tage.
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Weßels, T. (1992). Das Binomial — Bewertungsmodell. In: Numerische Verfahren zur Bewertung von Aktienoptionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-86001-9_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-86001-9_4
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