Zusammenfassung
Black und Scholes gehen bei der Herleitung ihres Bewertungsmodells für Calls von folgenden Annahmen aus40:
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1)
Es handelt sich um einen europäischen Call, in dessen Restlaufzeit kein Dividendentermin oder eine Kapitalmaßnahme (Bezugsrecht o.ä.) fällt
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2)
Transaktionskosten und Steuern brauchen nicht berücksichtigt zu werden.
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3)
Leerverkäufe in Aktien und Calls sind ohne Einschränkung und Hinterlegung von Sicherheiten möglich.
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4)
Soll- und Habenzinssätze für den Zeitraum bis zur Fälligkeit des Calls sind identisch, Geldanlagen und -ausleihungen sind ohne Einschränkung möglich.
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5)
Die Aktienkurse folgen einem zeit- und zustandskontinuierlichen Random Walk41 und sind zu einem beliebigen zukünftigen Zeitpunkt lognormal42 verteüt. Die Varianz der Aktienkursrenditen ist über die Restlaufzeit konstant.
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Literatur
vgl. Black/Scholes (1973), S. 640.
Random Walk bedeutet, daß die Aktienkurse im Zeitablauf einem zufälligen Pfad folgen, wobei der aktuelle Kurs der beste Schätzwert für den nächsten folgenden Kurs ist Vgl. Reiß (1976), S. 557 f und Grünwald (1980), S. 138 ff.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 201 ff., Jarrow/Rudd (1983), S. 88 ff. und Ritchken (1987), S. 114 ff.
Der Begriff “instantan” weist darauf hin, daß es sich um eine zeit- und zustandsstetige Betrachtung handelt.
vgl. Klump (1985), S. 183 f.
vgl. Black/Scholes (1973), S. 644.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 215 ff. und Jarrow/Rudd (1983), S. 117 f.
Abzugrenzen ist der hier verwendete Wert der Normaldichtefunktion von dem in der Black/Scholes Formel verwendeten Wert der (kumulierten) Normalverteilungsfunktion.
vgl. Loistl (1989), S. 340 ff.
Itô Prozesse sind die allgemeine Form der bereits vorgestellten Wiener Prozesse. In diesem Fall kann eine Bewertung von Calls ebenfalls mit einem Perfect Hedge durchgeführt werden. Vgl. Merton (1973), S. 162 ff. und als kurzen Überblick Smith (1976), S. 28 ff.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 275, die diese Argumentation für Optionen mit Laufzeiten unter einem Jahr für vertretbar halten.
Es handelt sich jedoch nicht um eine Punktschätzung, sondern um Intervalle, in denen der Aktienkurs mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.
CEV — Modell = Constant Elasticity of Variance Diffusion Model, d.h. die Varianz wird nicht mehr als stationär angenommen, sondern als von der absoluten Höhe des Aktienkurses abhängig betrachtet, wobei ein gegenläufiger Zusammenhang modelliert wird. Vgl. Cox /Ross (1976), S. 148 ff., Beckers (1980), S. 661 ff. und Loistl (1989), S. 324 f. Ein Bewertungsmodell, das zufällige Schwankungen in der Varianz erfaßt, wurde von Scott entwickelt Indem für Aktienkurse und Varianzen Diffusionsprozesse festgelegt werden, kann ein Perfect Hedge aus einer Aktie und zwei Optionen gebildet werden, der jedoch nur mit Hilfe eines Gleichgewichtsmodells bewertet werden kann. Die Optionspreise werden dann mit Monte Carlo Simulationen ermittelt Vgl. Scott (1987), S. 419 ff. Eine ähnliche Vorgehensweise findet sich bei Johnson/Shanno (1987), S. 143 ff.
vgl. Loistl (1989), S. 325 ff.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 255 ff.
vgl. Boyle/Ananthanarayanan (1977), S. 375 f.
Die für den deutschen Markt publizierten Volatilitäten berechnen sich beispielsweise als arithmetisches Mittel aus Anfangs-, Kassa- und Schlußkurs.
vgl. Parkinson (1980), S. 61 ff. und Garman/Klass (1980), S. 67 ff.
vgl. Trautmann (1983), S. 625 ff.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 278 f., Beckers (1981), S. 363 ff. und Loistl (1989), S. 326 ff.
vgl. Latané/Rendleman (1976), S. 370 ff.
vgl. Chiras/Manaster (1978), S. 218.
vgl. Jarrow/Rudd (1983), S. 122 ff.
Dieser Ansatz findet auch bei neueren analytischen Bewertungsansätzen und der Ex — Dividende Approximation des Binomial — Modells Anwendung. Zur Diskussion sei auf die ensprechenden Kapitel 3.8 und 4.3.3 verwiesen.
vgl. Black (1975), S. 41 f. und Cox/Rubinstein (1985), S. 238. Das pseudo — american Konzept läßt sich nur auf Calls anwenden. Bei der Bewertung von Puts muß vorzeitige Ausübung in jedem Zeitpunkt während der Laufzeit beachtet werden, d.h. es müßte eine unendlich große Anzahl von Putpreisen berechnet werden.
vgl. Whaley (1981), S. 207 ff., Rubinstein (1983), S. 214 ff. und Jarrow/Rudd (1983), S. 125 ff.
Aus diesem Grund ist der pseudo — amerikanische Wert immer kleiner als der analytische oder numerisch approximierte Wert.
vgl. Geske/Roll (1984), S. 444.
vgl. Black/Scholes (1973), S. 647.
vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 229 und Jarrow/Rudd (1983), S. 209 f.
Wie bei der Diskussion der Dominanzrelationen wird unterstellt, daß ein Investor am Fälligkeitstermin den Put und die veroptionierte Aktie in seinem Portfolio hält. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die Sensitivitätsanalysen in der hier dargestellten Form nur für europäische Puts gelten.
Diese Aussage gilt selbstverständlich nur unter der ceteris paribus Bedingung, d.h. alle übrigen Parameter sind konstant zu halten.
vgl. die Ausführungen im vorigen Kapitel.
vgl. die Ausführungen in Kapitel 2.2.4.
vgl. die Ausführungen im Kapitel “Modellannahmen”.
Als direkte Teilnehmer sollen hier z.B. Börsenhändler, Makler und Market Maker verstanden werden.
vgl. Akgiray (1989), S. 57 ff.
vgl. Akgiray/Booth/Loisü (1989), S. 17 ff.
Vgl. die Ausführungen in Kapitel 3.4.
Bei einem Aktienkurs von 40, einem Basispreis von 45, einer Restlaufzeit von 210 Tagen und einem Zinssatz von 5% p.a. errechnet sich ein Black/Scholes Callpreis von 0,59 (Standardabweichung =15% p.a.) bzw. von 2,22 (Standardabweichung von 30% p.a.). Vgl. auch die Ausführungen im Kapitel 3.3.
vgl. Roll (1977), S. 251 ff., Geske (1979), S. 375 ff., Geske (1981), S. 213 ff., Whaley (1981), S. 207 ff. und Jarrow/Rudd (1983), S. 122 ff.
Bei mehreren Dividendenterminen müßten die entsprechenden Werte einer multivariaten Standard — Normalverteilung entnommen werden. Die Lösung dieses Problems ist bisher nicht gelungen und wird auch mit einem den numerischen Verfahren vergleichbaren Aufwand nicht möglich sein.
vgl. Geske /Johnson (1984), S. 1517 ff.
Zur Ausübung von Puts vgl. die Ausführungen in Kapitel 2.2.4.
vgl. Blomeyer (1986), S. 229 ff., Johnson (1983), S. 141 ff., Barone — Adesi/Whaley (1987), S. 305 ff. und MacMillan (1986), S. 122 ff.
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Weßels, T. (1992). Das Bewertungsmodell von Black und Scholes. In: Numerische Verfahren zur Bewertung von Aktienoptionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-86001-9_3
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Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag
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