Mathematische Modelle der kinetischen Gastheorie

Zusammenfassung

In der klassischen kinetischen Gastheorie, entwickelt von Clausius, Maxwell, Boltzmann und Gibbs, betrachten wir das System Σ, das wir zunächst physikalisch beschreiben wollen. Es sei Σ ein hochverdünntes Gas von N Molekülen, die in einem Kasten K vom Volumen V eingeschlossen sind. Die Temperatur sei so hoch und die Dichte sei so gering angenommen, daß jedes Molekül als ein klassisches Teilchen mit wohldefiniertem Ort und Impuls betrachtet werden kann. Weiterhin nehmen wir an, daß die Moleküle stets als unterscheidbar angesehen werden können. Wir treiben also klassische Physik. Die Wände des Kastens seien Flächen, die auf ein auftreffendes Gasmolekül nur so wirken, daß sie es elastisch reflektieren. Weiter nehmen wir an, daß das Gas so hoch verdünnt ist, daß die Moleküle in keiner Weise aufeinander wirken; außerdem sollen keine Kräfte von außen wirken. Wir machen noch die schwerwiegende Einschränkung, daß zwischen den Molekülen auch keine Stöße auftreten. Diese Einschränkung machen wir nur gezwungenermaßen. Es ist ja gerade ein Vorzug der klassischen Boltzmannschen Theorie, Stöße zu berücksichtigen; allerdings handelt es sich in dieser Theorie nur um Zweierstöße. Die Möglichkeit, daß drei oder mehr Moleküle gleichzeitig stoßen, wird vernachlässigt. Die Theorie führt dann zur berühmten Boltzmannschen Transportgleichung. Erst in letzter Zeit wurden von physikalischer Seite Dreier- und Viererstöße berücksichtigt und die Boltzmannsche Gleichung in dieser Hinsicht erweitert. Es stellte sich aber heraus, daß dann in der Gleichung divergente Terme auftreten (E. G. D. Cohen und I. R. Dorfmann). Aber auch die Boltzmannsche Theorie birgt große mathematische Schwierigkeiten in sich.