Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Navigationsproblemen der Seefahrer des fünfzehnten Jahrhunderts; dabei werden die Probleme vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet. Langfristige Schiffsfahrten auf offener See hingen von der Fähigkeit ab, den Standort auf der Erdoberfläche bestimmen zu können, was zu dieser Zeit nur durch Beobachtung der Positionen der Sterne möglich war. Somit waren im Zeitalter der Erforschungen Verfeinerungen in Hinsicht auf astronomische Beobachtungen und ein Verständnis der Geometrie der Kugel erforderlich, ausgedrückt in der Terminologie der sphärischen Trigonometrie. Das Kapitel beginnt mit der Untersuchung der geographischen Breite, behandelt dann die Beziehung zwischen geographischer Länge und genauen Zeitmessungen und beschreibt das nautische Dreieck. Die weittragende Bedeutung genauer Breitengradmessung zur Größenbestimmung des Weltalls wird kurz besprochen. Der Begriff der Krümmung wird auf anschauliche Weise eingeführt, um den Leser auf eine eingehende Untersuchung der Differentialgeometrie und die Probleme der Weltraumfahrt vorzubereiten, die in den Kapiteln 11 und 12 behandelt werden.
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Notes
Dies wird Isaac Newton durch James Phinney Baxter III in Scientists Against Time [4], S. 404 zugeschrieben.
Freie Übersetzung des englischen Textes von J. P. Baxter [4].
Wir lassen die Präzession der Erdachse unberücksichtigt, da sie mit einer Umlaufzeit von 26 000 Jahren für nautische Zwecke unbemerkbar, jedoch für astrologische Betrachtungen von zentraler Bedeutung ist; man erinnere sich an die Diskussion in Abschnitt 3.7.
Freie Übersetzung des Textes von Bowditch.
Der begriffliche Rahmen, in dem diese Konzepte untersucht werden, heißt Differentialgeometrie; ihre Bedeutung liegt in der Anwendung der Infinitesimalrechnung auf die Geometrie. Differentialgeometrie war das grundlegende mathematische Hilfsmittel, das Albert Einstein (1879–1955) in seiner allgemeinen Relativitätstheorie verwendete, einer Theorie über die geometrische Struktur des Weltalls (siehe Kapitel 11 und 12).
In Bild 6.3a sind zwei Punkte P und Q durch eine Kurve C verbunden und auf die Punkte P’ und Q’ projiziert, die durch die projizierte Kurve C’ verbunden sind. Die Kurve C’ könnte einen Fluß oder eine Grenze darstellen und wird ein Teil der Abbildung der Kugel auf den Zylinder.
Vergessen Sie nicht, daß das Bild bei der Mercatorprojektion (und Zylinderprojektion) ein Streifen ist, der in den „vertikalen“ Richtungen unendlich groß ist, der aber gewöhnlich bei einer passenden geographischen Breite, etwa 80°, auf die entsprechende Größe zurechtgeschnitten ist.
Eine geodätische Linie ist eine Kurve, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen naheliegenden Punkten darstellt. Auf einer Kugel haben z. B. Großkreise diese Eigenschaft. Breitenkreise, mit Ausnahme des Äquators, der ja ein Großkreis ist, haben diese Eigenschaft nicht (siehe Kapitel 11).
Guayana, mit einer Gesamtbevölkerung von weniger als 1 Million, bildet eine Ausnahme, die wir hier aus der Betrachtung ausschließen.
Wird in Kapitel 9 besprochen.
Man erinnere sich der Definition und der Eigenschaften reeller Zahlen, die in Kapitel 1 gegeben wurden.
Unter Verwendung der Infinitesimalrechnung kann man zeigen, daß \(\lim_{N \to \infty} \left ( 1+1/N \right )^{N}\) gleich e ist.
Es ist üblich, ln x für elog x zu schreiben.
F. Cajori, „History of the exponential and logarithmic concepts“ Amer. Math. Monthly, 20, (1913) S. 6.
Eine ganze Zahl ist eine Primzahl, wenn sie (ohne Rest) nur durch ± 1 und ± sich selber teilbar ist.
Diese Beziehung kann aus Napiers Definition der Logarithmen abgeleitet werden, ausgedrückt als Maßstab des Längenwechsels von Linienabschnitten, unter Verwendung des Taylorschen Satzes, der in Kapitel 10 beschrieben wird.
Die „C-“ und „D-“ Skalen eines typischen Rechenstabes sind logarithmisch geteilt. Addition der Abschnitte (parallele Verschiebung der Zunge im Stab) entspricht der Addition der Logarithmen der Zahlen, die auf den Abschnitten eingezeichnet sind, dadurch ergibt sich der Logarithmus des Produkts (oder Quotienten). Das Produkt (oder der Quotient) kann direkt abgelesen werden. Die Skalen entsprechen den tabellierten Werten der Logarithmusfunktion. Die jeweilige Einstellung der Zungenposition auf dem Rechenstab entspricht einer Addition oder Subtraktion.
Entnommen aus Tropfke [69], S. 121, Bd. 3.
Entnommen aus Tropfke [69] und Cajori [15], ebenso wie weitere Beispiele in diesem Textabschnitt. Ein oberer Index spielt eine ähnliche Rolle wie das „th“ in „8th“ (im Englischen) oder „ième“ in „2ième“ (im Französischen), um Ordnungszahlen zu bezeichnen.
Es hat sich eingebürgert, exp z anstatt e z zu schreiben, um dem Setzer die Arbeit zu erleichtern, wenn z ein komplizierter Ausdruck ist.
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© 1983 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig
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Resnikoff, H.L., Wells, R.O. (1983). Die Reifezeit des Rechnens. In: Mathematik im Wandel der Kulturen. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-85925-9_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-85925-9_3
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-03578-5
Online ISBN: 978-3-322-85925-9
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