Zusammenfassung
Aus dem Black-Scholes-Modell lassen sich Kennzahlen ableiten, die eine Möglichkeit bieten, die Art und das Ausmaß potentieller Wertänderungen von Einzel-und Gesamtpositionen bei Veränderung einer oder mehrerer Determinanten des Optionswertes zu schätzen. Solche Kennzahlen — in der Literatur auch als “Sensitivitäten” bezeichnet — werden in diesem Abschnitt vorgestellt und mit Hilfe graphischer Darstellungen erläutert. 1)Darüber hinaus wird die Bedeutung von Optionskennzahlen als Möglichkeit, Marketmakerrisiken zu ermitteln, zu beurteilen und zu beherrschen, untersucht.
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Literatur
P. Ritchken (1987), S. 221; H. Zimmermann (1988), S. 152. Für das Options-Delta gibt es unterschiedliche Interpretationen in der Literatur: Veränderungsrate des Optionswertes, Hedge-Ratio, theoretische Position in der Aktie und Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Option bei Fälligkeit ausgeübt wird; siehe dazu z.B. R.A. Haugen (1986), S. 361 u. 385; T.E. Copeland u. J.F. Weston (1988), S. 276; S. Natenberg (1988), S. 120. Das sog. Delta-Risiko — auch “directional-risk” — beschreibt das Risiko, daß sich der Markt eher in die eine als in die andere Richtung bewegt; S. Natenberg (1988), S. 211.
Eine ausführliche Ableitung findet sich bei B. Jentzsch (1985), S. 315 u. 322.
P. Ritchken (1987), S. 221. In der Praxis wird der Wertebereich auch mit von 0 bis 100 für Kaufoptionen und mit -100 bis 0 für Verkaufsoptionen angegeben; S. Natenberg (1988), S. 118.
J. Hull (1989), S. 192.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 222. Optionen, die tief im Geld sind, machen absolut gesehen fast die gleichen Preisbewegungen wie der Aktienkurs. Optionen, die weit aus dem Geld sind, machen absolut gesehen fast keine Preisbewegung bei einer Aktienkursänderung.
J. Hull (1989), S. 193 f. Dieses Vorgehen ist aufgrund der Additivitätseigenschaft des Options-Delta möglich; siehe hierzu z.B. A.L.M. Smith (1986), S. 175; R. Cordero (1989), S. 77.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 288.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 289.
Streng nach dem B-S-Modell müßte die Anpassung zeitkontinuierlich erfolgen. Ein Beispiel mit Erläuterungen für ein sog. “dynamic hedging scheme” findet sich bei J. Hull (1989), S. 188–191.
Solche Zielvorgaben (“target delta”) werden in der Literatur vorgeschlagen; z.B. J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 294. Man findet sie auch in der Praxis.
Hingewiesen sei hier darauf, daß es für einen Marketmaker — und jeden Investor — in Aktienoptionen gefährlich sein kann, nur auf das Positions-Delta zu achten, und Faktoren wie Restlaufzeit und Volatilität nicht zu berücksichtigen; S. Natenberg (1988), S. 120.
Cox et al. weisen darauf hin, daß die Anpassung eines Portefeuilles aus Aktien, Anleihen und Optionen nur über Transaktionen in Aktien und Anleihen erfolgen sollte, da Optionen am Markt aufgrund mangelnder Effizienz oft falsch bewertet werden. Paßt man dennoch über Transaktionen in Optionen an, so führt das oftmals nicht zum gewünschten Ergebnis; J.C. Cox et al. (1979), S. 245 f. An organisierten Terminmärkten wie der DTB dürften sich solche Fehlbewertungen in engen Grenzen halten. Ein Indiz für die Richtigkeit dieser These kann man darin sehen, daß nach Erfahrungen von Börsenteilnehmern die Arbitragemöglichkeiten im zweiten Handelsjahr der DTB erheblich abgenommen haben. Trotzdem sollte die Anpassung des Positions-Delta aus noch zu erläuternden Gründen nur über Transaktionen in den Basisaktien erfolgen.
Eine Darstellung des Options-Delta einer Verkaufsoption in Abhängigkeit von der Restlaufzeit findet man bei S. Natenberg (1988), S. 128.
Es sei daran erinnert, daß das B-S-Modell Fehlbewertungen für Optionen mit kurzen Restlaufzeiten liefert; vgl. S. 188, 190 f. Daher ist keine eindeutige Aussage darüber möglich, ab welchem Zeitpunkt die Delta-Werte gegen 1, 0,5 und 0 streben.
Eine Darstellung des Options-Delta einer Verkaufsoption in Abhängigkeit von der Volatilität findet man bei S. Natenberg (1988), S. 129.
An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß in der Abb. 6–11 bei S. Natenberg (1988), S. 128, bei der Verlaufsfunktion des Delta einer Kaufoption am Geld der Anstieg der Kurve auf 1 bei relativ niedriger Volatilität fehlt.
P. Ritchken (1987), S. 223; H. Zimmermann (1988), S. 164. Gamma wird auch als das “Delta des Delta” oder als “Geschwindigkeit, mit der sich Delta ändert”, bezeichnet; S. Natenberg (1988), S. 123; V. Klein (1991), S. 20. Das sog. Gamma-Risiko — auch “curvature-risk” — beschreibt das Risiko einer großen Kursbewegung der Basisaktie; S. Natenberg (1988), S. 211.
Eine ausführliche Herleitung findet sich bei L. Jurgeit (1989), S. 470.
S. Natenberg (1988), S. 121.
J. Hull (1989), S. 197.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 224 f.; H. Zimmermann (1988), S. 165.
J. Hull (1989), S. 196.
A.L.M. Smith (1986), S. 170; R. Cordero (1989), S. 85. Auch für das Options-Gamma gilt die Additivitätseigen-schaft.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 301.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 301. Damit ist auch die Beziehung zwischen Gamma und Volatilität offenkundig: Mit einer gamma-positiv ausgerichteten Position setzt man auf steigende, mit einer gamma-negativ ausgerichteten Position setzt man auf sinkende Volatilität.
Siehe dazu auch P. Ritchken (1987), S. 225; S. Natenberg (1988), S. 123.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 304.
Wie bereits im ersten Teil Abschn. C.II, hier S. 57–59, erläutert, stellen potentielle Wertänderungen einer Position aufgrund von Kursänderungen vom Ende des Handels bis zum Beginn des Handels am nächsten Börsentag — overnight-risk — eine entscheidende Risikokomponente für einen Marketmaker dar.
Vgl. S. 213, Aktien werden daher als gamma-neutral bezeichnet.
Im günstigsten Fall senkt er den Geldkurs unter die Abgabepreisuntergrenze der verkaufswilligen Investoren und den Briefkurs unter die Beschaffungspreisobergrenze der kaufwilligen Investoren. Theoretisch werden dann nur noch Kaufaufträge beim Marketmaker eingehen. Zur ökonomischen Funktion von Abgabepreisunter- und Beschaffungspreisobergrenze siehe W. Stützel (1976), Sp. 4406 f. Es ist bei dieser Kurspolitik keine eindeutige Aussage darüber möglich, ob der Marketmaker die Breite der Spanne verändert, da nur sein Geldkurs ein “Abwehrkurs” ist; sein Briefkurs ist ein “Motivationskurs”. Auf jeden Fall ist die Lage der Spanne nach der neuen Kursstellung auf einem niedrigeren Niveau; vgl. dazu auch S. 93, Abb. 1.1.
J. Hull (1989), S. 197 f.
Wie auf S. 207 gesehen, ist das Delta einer Option im Geld bei kurzer Restlaufzeit 1 und das Delta einer Option aus dem Geld 0.
Für Optionen am Geld kann sich bereits bei geringen Aktienkursänderungen eine relativ große absolute Wertänderung ergeben; J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 229.
Wie oben festgestellt, siehe S. 213, haben ohne Berücksichtigung der Volatilität oder Restlaufzeit Optionen am Geld stets den höchsten Gamma-Wert; siehe auch S. Naten-berg (1988), S. 124. Angemerkt sei, daß bei der Verlaufsfunktion für Gamma in Abb. 6–8 bei S. Natenberg (1988), S. 126, das Absinken der Gamma-Werte auf null bei sehr niedriger Volatilität fehlt.
P. Ritchken (1987), S. 223; H. Zimmermann (1988), S. 188. Das sog. Theta-Risiko — auch “time-decay-risk” — beschreibt das Risiko einer Restlaufzeitverkürzung, ohne daß sich die Kurse der Basisaktien ändern; S. Natenberg (1988), S. 211.
Die ausführliche Herleitung findet sich bei B. Jentzsch (1985), S. 317 f. u. 322. Zur oben verwendeten Gleichung siehe auch L. Jurgeit (1989), S. 132.
In der Literatur und in der Praxis wird Theta oft mit negativem Vorzeichen angegeben, weil sich die Restlauf zeit an Optionsbörsen nur verkürzen kann und nur dieser Fall relevant ist; S. Natenberg (1988), S. 131. Um im Zusammenhang mit anderen Kennzahlen zu vergleichbaren Aussagen zu kommen, wird in der vorliegenden Arbeit für Theta das formal korrekte Vorzeichen verwendet.
J. Hull (1989), S. 195. Es ist schon im Abschn. A.I.l dieses Teils, hier S. 181, FN 2, auf zwei entgegengesetzt wirkende Effekte bei einer europäischen Verkaufsoption hingewiesen worden, die den Einfluß der Restlaufzeitverkürzung nicht eindeutig bestimmen lassen. Auf solche Ausnahmen wird hier nicht eingegangen, zumal an der DTB ohnehin amerikanische Aktienoptionen gehandelt werden. Es sei dazu auf die Literatur verwiesen, z.B. C.W. Smith (1979), S. 86 f.; J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 305.
Siehe hierzu auch J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 224.
Für das Options-Theta gilt ebenfalls die Additivitäts-eigenschaft; A.L.M. Smith (1986), S. 175; R. Cordero (1989), S. 97.
J. Hull (1989), S. 194.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 304 f.
Die Basisaktien sind theta-neutral, weil sie eine unendliche Restlaufzeit haben; vgl. S. 223.
Es sei daran erinnert, daß das B-S-Modell Fehlbewertungen für Optionen tief im Geld und weit aus dem Geld liefert; siehe S. 188 f., 191 f.
Siehe S. 225, 229.
P. Ritchken (1987), S. 223; H. Zimmermann (1988), S. 183. Die Nomenklatur für diese Optionskennzahl ist nicht einheitlich. Es werden auch die Bezeichnungen Eta, Kappa, Lambda, Sigma und Zeta verwendet; S. Natenberg (1988), S. 132. In dieser Arbeit wird die an der DTB übliche Bezeichnung Vega verwendet; vgl. H.-J. Schäfer u. S. Demoliere (1989), S. 100. Das sog. Vega-Risiko — auch “volatility-risk” — beschreibt das Risiko, daß eine falsche Schätzung für die Volatilität im theoretischen Optionsbewertungsmodell verwendet wird; S. Natenberg (1988), S. 212.
Die ausführliche Herleitung findet sich bei B. Jentzsch (1985), S. 320 f., und L. Jurgeit (1989), S. 469 f.
H. Zimmermann (1988), S. 185.
J. Hull (1989), S. 200.
Bereits im Abschn. A.I.l dieses Teils, hier S. 181 f., wurde die positive Beziehung zwischen Optionswert und Volatilität dargestellt; siehe hierzu auch J. Hull (1989), S. 200.
H. Zimmermann (1988), S. 185. Die prozentuale Änderung des Vega ist bei Optionen aus dem Geld am größten; A.L.M. Smith (1986), S. 165; S. Natenberg (1988), S. 134.
In diesem Zusammenhang sei darauf verwiesen, daß die Abb. 50 u. 52 bei Cordero nicht korrekt sind. Cordero weist zwar ausdrücklich darauf hin, daß eine positive Beziehung zwischen Optionswert und Volatilität besteht, in seinen Abbildungen nimmt Vega aber mit zunehmender Volatilität niedrigere Werte an; siehe R. Cordero (1989), S. 94–98.
Die Additivitätseigenschaft gilt auch für das Options-Vega; A.L.M. Smith (1986), S. 175; R. Cordero (1989), S. 99.
J. Hull (1989), S. 200.
J. Hull (1989), S. 200.
Welche Transaktionen ein Marketmaker im einzelnen vornehmen sollte und wie er dabei die Spanne nach Lage und Breite stellen muß, ist bereits beim Positions-Gamma erläutert worden; siehe S. 216.
S. Natenberg (1988), S. 134.
Siehe S. 214 f.
J. Hull (1989), S. 200.
Siehe dazu auch S. Natenberg (1988), S. 134, und J. Hull (1989), S. 200.
Siehe Abschn. A.I.l dieses Teils, hier S. 181, und S. Natenberg (1988), S. 134.
S. Natenberg (1988), S. 135; J. Hull (1989), S. 202.
Die ausführliche Herleitung findet sich bei B. Jentzsch (1985), S. 319 u. 327.
Z.B. J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 229; L. Jurgeit (1989), S. 129.
Für das Options-Delta gibt es unterschiedliche Interpretationen in der Literatur: Veränderungsrate des Optionswertes, Hedge-Ratio, theoretische Position in der Aktie und Wahrscheinlichkeit dafür D.M. Chance (1989), S. 138.
H. Zimmermann (1988), S. 159; L. Jurgeit (1989), S. 129.
H. Zimmermann (1988), S. 159. Aus diesem Sachverhalt resultiert auch der sog. “Hebeleffekt” von Optionen; ebda. S. 159 f. Zur praktischen Bedeutung des Hebeleffekts — besonders bei der Beurteilung des Risikos von Optionsscheinen — siehe J. Welcker et al. (1991), S. 11 f. Hier könnte man einwenden, daß der Wert einer Option nicht auf Aktienkursänderungen reagiert, wenn Delta null ist. Somit stünde die obige Aussage im Widerspruch zu den Ausführungen im Abschn. B.I.l dieses Teils. Folgendes -wenn auch extremes — Beispiel mag den Sachverhalt klären: Es sei KK = 200, BP = 260, t = 90, σ = 15 und rf = 7. Rein rechnerisch erhält man KO = 0,002217, Delta = 0,00057 und Elastizität = 51,42. Wenn nun KK um 1% auf 202 steigt, müßte theoretisch KO um 51,42% auf 0,003357 ansteigen (tatsächlich ergibt sich bei Neuberechnung von KO mit KK = 202 ein Wert von 0,003668). Für die Praxis an der DTB haben solche Berechnungen keinerlei Bedeutung, da Optionspreise an der DTB in Abstufungen von DM 0,10 [vgl. Ziffer 2.2.1.8 DTB-HandelsB] notiert werden. Es zeigt sich aber, daß die Ergebnisse formal korrekt sind und nicht im Widerspruch zueinander stehen; siehe auch S. 203, FN 1.
Graphische Darstellungen der Options-Elastizität in Abhängigkeit von Aktienkurs, Restlaufzeit und Volatilität sind im Anhang C der vorliegenden Arbeit wiedergegeben. Siehe auch J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 288 f. Zu beachten ist, daß in der Abb. 5–23 bei Cox und Rubinstein die Kurven für die Optionen im und aus dem Geld vertauscht sind.
J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 229. Der Grund hierfür liegt darin, daß die Aktien, die in einem der Optionsposition äquivalenten Portefeuille zu halten sind, zum größten Teil fremdfinanziert werden; siehe dazu ebda, und L. Jurgeit (1989), S. 130.
L. Jurgeit (1989), S. 130.
Siehe S. 188–193. Es sei auch an die Möglichkeit von Kurssprüngen und Volatilitätsänderungen bei den Basisaktien während der Optionslaufzeit erinnert.
Daher werden Delta, Gamma, Theta und Vega auch “… weltweit als Hilfsmittel beim Risikomanagement eingesetzt.”; W. Bühler (1991), S. 2.
S. Natenberg (1988), S. 134. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, daß die Ermittlung der Volatilität problematisch ist. Siehe die Ausführungen im Abschn. A.II dieses Teils, hier S. 196–198. Folglich unterliegt auch das Options-Vega den Problemen der Volatilitätsermittlung.
So auch H. Zimmermann (1988), S. 160.
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Daube, C.H. (1993). Kennzahlen aus der Optionsbewertungstheorie und ihre Bedeutung für Marketmaker. In: Marketmaker in Aktienoptionen an der Deutschen Terminbörse. Schriftenreihe des Instituts für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg, vol 6. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-85900-6_11
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