Der Axiomatische Rahmen für die Nichtstandard-Analysis

Zusammenfassung

In der Mathematik kommen im wesentlichen zwei Arten von Axiomensystemen vor. Bei der ersten Sorte sollen möglichst verschiedenartige Strukturen, die jedoch gewisse einheitliche, als nützlich erkannte Eigenschaften besitzen, beschrieben werden. Die Theorie dieser Strukturen soll dann auf möglichst viele Probleme angewandt werden; Beispiele dafür sind etwa die Verbands- oder die Gruppentheorie oder auch die Theorie der to- pologischen Räume. Bei der zweiten Sorte von Axiomensystemen ist man bestrebt, eine intuitiv vorgestellte, noch nicht ganz scharf umrissene Struktur mathematisch-axiomatisch zu beschreiben. Diese Situation haben wir im Falle der reellen Zahlen. Ein Axiomensystem für die reellen Zahlengerade wird man hauptsächlich danach beurteilen, wie gut die Folgerungen aus den Axiomen mit dem übereinstimmen, was man anschaulich erwartet, wie “evident” die Axiome sind und wie praktisch das System zu handhaben ist. Hierin liegt natürlich eine gewisse Gefahr, weil die Anschauung uns ja bekanntlich täuschen kann. Auf der anderen Seite ist man bei der Aufstellung eines neuen Axiomensystems für die reellen Zahlen leicht voreingenommen, wenn man bereits ein anderes kennt, denn das Studium eines speziellen Modells der “reellen Zahlengeraden” bleibt nicht ohne Rückwirkung auf die Anschauung. Der Leser wird daher gebeten, sich in die naiv-unschuldige Situation eines Studienanfängers zu versetzen, der in die Analysis eingeführt werden soll.