Reelle Zahlen

Zusammenfassung

Der in diesem Kapitel behandelte Stoff ist ganz und gar klassisch; der Hauptunterschied zu den meisten anderen Darlegungen der Theorie der reellen Zahlen besteht darin, daß wir hier die Eigenschaften der reellen Zahlen aus einigen wenigen Aussagen ableiten, die als Axiome angesehen werden. Tatsächlich jedoch können diese Aussagen als Folgerungen aus den Axiomen der Mengenlehre bewiesen werden (oder auch aus den Axiomen für natürliche Zahlen zusammen mit bestimmten Axiomen der Mengenlehre, die es ermöglichen, die klassischen Konstruktionen der „Dedekindschen Schnitte“ oder der „Cantorschen Fundamentalfolgen“ auszuführen). Diese Beweise sind von großem logischem Interesse, und historisch betrachtet trugen sie in beträchtlichem Maße zur Klärung des klassischen (und etwas nebelhaften) Begriffs des „Kontinuums“ bei. Sie sind jedoch im Grunde für die Analysis unerheblich; wir hielten es nicht für notwendig, den Leser damit zu belasten. Wer sich dafür interessiert, kann sie in fast jedem Buch über Analysis finden; eine besonders klare und schöne Darstellung bringt Landau [20].