Rand und Eigenweitaufgaben

Zusammenfassung

Wir haben in Kap. 3.3 mit Hilfe des Separationsansatzes Lösungen der Wellengleichung (2.2/6) in Gestalt der Funktionen

$$ {\text{u}}_{\text{M}} \left( {{\text{x,t}}} \right) = \sum\limits_{{\text{neM}}} {\left( {{\text{A}}_{\text{n}} \sin \frac{{n\pi v}} {l}{\text{t + B}}_{\text{n}} \cos \frac{{n\pi v}} {l}{\text{t}}} \right)\sin \frac{{n\pi x}} {{\text{S}}}} $$

((3.3/11))

, gefunden; diese (endlichen) Summen erfüllen auch die gegebenen Randbedingungen (2.2/14). Die vollständige Lösung der Aufgabe erfordert noch die Anpassung der Lösungen (3.3/11) an die Anfangsbedingungen (2.2/17) zur Bestimmung der Koeffizienten A_n und B_n, d. h. es müssen die Beziehungen

$$ u(x,0) = u_0 (x) = \sum\limits_{n \in M} {B_n \sin \frac{{n\pi x}} {l}} ,0 \leqslant x \leqslant l $$

((4.1/1′))

, und

$$ {\text{u}}_{\text{t}} \left( {{\text{x,0}}} \right) = \dot u_{\text{0}} \left( {\text{x}} \right) = \sum\limits_{{\text{neM}}} {\frac{{n\pi v}} {l}A_n \sin \frac{{n\pi x}} {l}} ,\,0 \leqslant {\text{x}} \leqslant l $$

((4.1/1″))

, erfüllt werden. Man sieht sofort, daß man hiefür mit einer endlichen Menge M natürlicher Zahlen nicht das Auslangen finden kann, es sei denn, die Funktionen u_o(x) und u_o(x) sind trigonometrische Polynome des Argumentes $\frac{{\pi X}} {l}$, was naturgemäß nicht immer der Fall ist.