Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten

Zusammenfassung

Die Punkte algebraischer Varietäten lassen sich einteilen in solche, in denen die Varietät „glatt“ ist, und in die „Singularitäten“ der Varietät. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit verschiedenen Charakterisierungen dieser Begriffe, vor allem durch Eigenschaften der lokalen Ringe in den Punkten der Varietät. Es wird gezeigt, wie durch die Untersuchung der Idealtheorie lokaler Ringe Rückschlüsse auf die Natur der Singularitätenmenge gezogen werden können. Das in Kapitel V begonnene Studium der regulären Folgen wird fortgeführt. Wir erhalten weitere Invarianten noetherscher lokaler Ringe und eine Klasseneinteilung dieser Ringe (vollständige Durchschnitte, Gorensteinringe, Cohen-Macaulay-Ringe). Dieser entspricht eine (grobe) Klasseneinteilung der Singularitäten. Unser besonderes Interesse gilt auch in diesem Kapitel wieder denjenigen Aussagen, die Anwendungen auf vollständige Durchschnitte besitzen.