Zusammenfassung
Man beweist Sätze über Ringe und Moduln häufig dadurch, daß man sie zunächst für den Fall lokaler Ringe oder Moduln über lokalen Ringen bestätigt, wo dies oft einfacher ist, um danach vom „Lokalen“ aufs „Globale“ zu schließen. Dieses Kapitel enthält einige allgeeine Regeln und Beispiele für diese Technik. Die für die späteren Anwendungen wichtigsten Ergebnisse sind der Satz von Forster-Swan (2.14) und die Lösung des Serreschen Problems für projektive Moduln (3.15) nach Quillen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literaturhinweise
Das Lokal-Global-Prinzip ist eines der wichtigsten Beweishilfsmittel der kommutativen Algebra. Es trat in ähnlicher Form zuerst in der Zahlentheorie auf nach der Entdeckung der p-adischen Zahlen durch Hensel. Krull [46], der als Erster die lokalen Ringe systematisch untersuchte, verwendete das Prinzip häufig in der Form wie es im Text vorkam.
Das Vorgehen in § 1 zum Beweis der Lokal-Global-Aussage Quillens für erweiterte Moduln folgt einem (unveröffentlichten) Vorschlag Hochsters. Für den Satz von Forster-Swan wurde von Eisenbud-Evans [20] die folgende Verschärfung vermutet: Ist R = P[X] ein Polynomring über einem noetherschen Ring P und M ein endlich erzeugter R-Modul, so gilt μ(M) ⩽ Maxμp(M) + dim R/pP∈ Spec(R), dim R/P <dim R.
Diese wurde nach Vorarbeiten von Sathaye [71] inzwischen bestätigt durch Mohan Kumar [56]. Der Beweis benutzt die Ergebnisse von Quillen [66] und Susiin [75] im Zusammenhang mit der Lösung des Serreschen Problems, die in § 3 dargestellt wurden.
Über die zwanzigjährige Geschichte der Lösung dieses Problems berichten die Übersichtsvorträge von Bass [8] (kurz vor der Lösung) und Ferrand [23] (nach der Lösung) im Séminaire Bourbaki, siehe auch Swan [77] und die umfassende Darstellung von Lam [50]. Der im Text vorgestellte Beweis des Satzes von Horrocks geht auf Lindel [52] zurück. Ein ähnlicher Beweis wurde auch von Swan gegeben (siehe [77]). Gegenwärtig bemüht man sich, für allgemeinere Ringe R die Freiheit der endlich erzeugten projektiven R[X1,…, Xn]-Moduln nachzuweisen (siehe Ferrand [23], Lam [50], Lindel [53]).
Viele Sätze aus § 3 sind Analoga zu Tatsachen aus der Theorie der Vektorraumbündel über topologischen Räumen. Im algebraischen Fall sind die Beweise i.a. gänzlich anders zu führen als im topologischen, jedoch erweist sich die Topologie hier als eine reiche Quelle für möglicherweise richtige algebraische Resultate.
Rights and permissions
Copyright information
© 1980 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig
About this chapter
Cite this chapter
Kunz, E. (1980). Das Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra. In: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. vieweg studium Aufbaukurs Mathematik, vol 46. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-85526-8_5
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-85526-8_5
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-07246-9
Online ISBN: 978-3-322-85526-8
eBook Packages: Springer Book Archive