Zahlentheoretische Funktionen und analytische Hilfsmittel der Zahlentheorie

Zusammenfassung

Eine eindeutige für alle n (n∈N) erklärte Funktion f(x) wird “zahlentheoretische Funktion” genannt; bisweilen werden auch die Werte f(g) (g ∈ z) betrachtet, wenn g zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Ist für a ∈ N, b ∈ N außerdem (1) f(a·b) = f(a)·f(b), so heißt f(x) “multiplikativ”; gilt dagegen die Gleichung (1) nur falls (a, b) = 1, so wird f(x) als “distributive” bezeichnet¹⁾. P.d. ist damit jede multiplikative Funktion sicher distributiv. Daggen ist nicht jede distributive Funktion auch distributive, wie das Beispiel der nach (I₂₈) distributiven Funktion φ(n) zeigt (φ(9)) = 6 ≠ φ(3)·φ(3) = 2.2). Als “summatorische Funktion von f(x)” — manchmal auch “zahlentheoretisches Integral von f(x)” — wird $F(n) = \sum\limits_{t/n} {f(t)}$²⁾ erklärt; f(n) heißt dann auch “zahlentheoretische Ableitung von F(n)”.