Endlich erzeugte abelsche Gruppen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns nur mit abelschen Gruppen beschäftigen und wir werden daher die additive Schreibweise (siehe Seite 6) verwenden. Wir erinnern, daß in diesem Fall alle Untergruppen Normalteiler sind; für eine Untergruppe H ≤ G besteht die Quotientengruppe G/H aus den Nebenklassen H + x (x ∈ G). Man nennt eine Gruppe G endlich erzeugt (in der Abkürzung e.e.), wenn es endlich viele Elemente u₁, u₂,…, u_n aus G gibt (die sogenannten Erzeugenden oder Generatoren), derart daß gilt

$${\rm{G}} = {\rm{gp}}\{ {{\rm{u}}_1},{{\rm{u}}_2}, \ldots, {{\rm{u}}_{\rm{n}}}\}.$$

Dann ist jedes Element aus G eine endliche Summe dieser Erzeugenden oder ihrer Negativen (Inversen) in beliebiger Ordnung, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Da jedoch das Kommutativitätsgesetz gilt, können wir die Terme, welche aus denselben Erzeugenden bestehen zusammenfassen, so daß wir für jedes x ∈ G

$${\rm{x}} = {{\rm{a}}_1}{{\rm{u}}_1} + {{\rm{a}}_2}{{\rm{u}}_2} + \ldots + {{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}$$

((4.1))

schreiben können, wobei die a_i ganze Zahlen sind (positive, negative oder gleich null). Umgekehrt repräsentiert (4.1) für jede Wahl der ganzzahligen Koeffizienten ein Element aus G. Da die Erzeugenden nicht als nichtreduzierbar angenommen wurden (ja und selbst wenn sie es wären) kann es möglich sein, daß sie eine nichttriviale Relation

$${{\rm{c}}_1}{{\rm{u}}_1} + {{\rm{c}}_2}{{\rm{u}}_2} + \ldots + {{\rm{c}}_{\rm{n}}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} = 0,$$

((4.2))

in der nicht alle Koeffizienten gleich null sind, erfüllen. Da gebrochene Koeffizienten nicht erlaubt sind, können wir im allgemeinen (4.2) nicht nach einem der Koeffizienten „auflösen“, das heißt diesen einen Koeffizienten durch die anderen ausdrücken.