Untergruppen

Zusammenfassung

Da eine Gruppe G eine Menge von Elementen ist, können die üblichen Definitionen und Bezeichnungen aus der Mengenlehre auf G angewendet werden. Wenn also A, B, C,… Teilmengen von G sind, schreiben wir A ⊂ B, um auszudrücken, daß jedes Element von A auch ein Element von B ist, wobei die Gleichheit von A und B eingeschlossen sei. Die Vereinigung A ∪ B ist die Menge der Elemente, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden gehören. Der Durchschnitt A ⋂B besteht aus den Elementen, die sowohl in A als auch in B liegen; falls kein solches Element existiert, schreiben wir A ⋂ B = Ø (die leere Menge). Das Zeichen a ∈ A bedeutet, daß a in A liegt. Manchmal verwenden wir die (etwas unlogische) Bezeichnung, indem wir das Element a mit der Menge, die nur das Element a enthält identifizieren. Wenn a₁, a₂, a₃,… die Elemente von A sind, dann schreiben wir daher

$${\rm{A}} = {{\rm{a}}_1} \cup {{\rm{a}}_2} \cup {{\rm{a}}_3} \cup \ldots.$$

Nun versieht die auf G definierte Multiplikation auch die Teilmengen mit einer weiteren Struktur. Wenn zwei Teilmengen A und B gegeben sind, dann definieren wir

$${\rm{AB}}$$

((2.1))

als die Menge der Elemente, welche in der Form ab ausgedrückt werden können, wobei a ∈ A und b ∈ B sind. Diese Produkte brauchen nicht alle verschieden zu sein, denn es kann vorkommen, daß a₁ ≠ a₂, b₁ ≠ b₂ gilt, dagegen a₁b₁ = a₂b₂. Es sollte jedoch betont werden, daß AB hauptsächlich als Menge betrachtet wird und somit Wiederholungen von Elementen nicht beachtet werden. Wie üblich sind zwei Untermengen genau dann gleich, wenn sie dieselben verschiedenen Elemente unabhängig von Wiederholungen und Reihenfolge enthalten. Im folgenden wird die Gleichheit von Teilmengen immer in diesem Sinne verstanden.