Divergenz und Rotation

Zusammenfassung

In Kapitel 17 „Oberflächenintegrale“ hatten wir die folgende Fragestellung behandelt: Eine geschlossene Fläche A wird von einem Vektorfeld $\overrightarrow F \left( {x,y,z} \right)$ durchsetzt. Gefragt ist nach einem Maß dafür, wie “stark” das Vektorfeld $\overrightarrow F$ die Fläche A von innen nach außen — oder von außen nach innen — durchsetzt. Diese Frage wird durch das Oberflächenintegral über die Fläche A beantwortet

$$\oint\limits_A {\overrightarrow F } \left( {x,y,z} \right)\overrightarrow {dA} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\overrightarrow F } \left( {{x_i},{y_i},{z_i}} \right) \cdot \Delta \overrightarrow {{A_i}}$$

((18.1))

Betrachten wir der Anschaulichkeit wegen ein physikalisches Beispiel. Im Innern einer geschlossenen Fläche befinde sich die elektrische Ladungsdichte $\rho$. Die Ladungsdichte ist definiert als Ladung pro Volumeneinheit, $\rho = \frac{{dQ}}{{dV}}.$