Zusammenfassung
Es sei R ein unitärer kommutativer Ring. Wir betrachten die Menge Γ(ℕ, R) der Abbildungen f: ℕ → R mit endlichem Träger supp(f) = {n ∈ N; f(n) ≠ 0}. Diese können addiert und mit Ringelementen von links multipliziert werden, indem man (f + g)(n) = f(n) + g(n)und (rf)(n) = rf(n) für r ∈ R setzt. Es gilt offensichtlich (r + s)f = rf + sf und r(sf) = (rs)f, d. h. die Multiplikation ist distributiv und assoziativ von links. Außerdem gilt 1f = f sowie r(f + g) = rf + rg. Man kann aber auch zwei solche Abbildungen miteinander multiplizieren. Dazu bildet man ihr Konvolutionsprodukt, ein R-bilineares und assoziatives Produkt auf der Menge dieser Abbildungen, das f, g ∈ Γ(ℕ, R) die Abbildung f ∗ g ∈ Γ(ℕ, R) zuordnet, die durch
gegeben ist. Das Konvolutionsprodukt ist offensichtlich kommutativ, und so wird Γ(ℕ, R) zu einer kommutativen R-Algebra (siehe auch 22.1). Jedes f ∈ Γ(ℕ, R) lässt sich auf genau eine Weise als endliche Linearkombination f = ∑ f(n)δ n der Abbildungen δ n ∈ Γ(ℕ, R) schreiben, die für n den Wert 1, sonst aber den Wert 0 annimmt. Das Element δ0 ist offensichtlich ein Einselement der Algebra. Definiert man induktiv für k ∈ ℕ Potenzen δ k1 von δ1, indem man \(\delta _1^o = {\delta _o}\) und \(\delta _1^k = \left( {\delta _1^{k - 1}} \right) * {\delta _1}\) für k ≥ 1 setzt,so gilt \({\delta _k} = \delta _1^k\) und daher
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© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Wüstholz, G. (2004). Polynomringe. In: Algebra. Vieweg Studium Aufbaukurs Mathematik, vol 91. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-85035-5_14
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-85035-5_14
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-07291-9
Online ISBN: 978-3-322-85035-5
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