Aufgaben über die Ungleichung von Tschebyscheff und den Zentralen Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit W(|X-μ| ≥ c) für beliebige c benötigt man die Kenntnis der Verteilungsfunktion. Die Ungleichung von Tschebyscheff ergibt eine Abschätzung dieser Wahrscheinlichkeit, die nur die Kenntnis der Varianz σ² dieser Zufallsvariab1en benötigt:

$$ {\rm{W}}\left( {\left| {{\rm{X - }}\left. {\rm{\mu }} \right|} \right. \ge {\rm{c}}} \right) \le \frac{{\sigma ^2 }}{{{\rm{c}}^2 }} $$

oder umgeformt

$$ {\rm{W}}\left( {\left| {{\rm{X - }}\left. {\rm{\mu }} \right|} \right. < {\rm{c}}} \right) \ge 1 - \frac{{\sigma ^2 }}{{{\rm{c}}^2 }}, $$

die natürlich nur für c > σ interessant ist. Sei X₁,X₂,… eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen, dann besagt der zentrale Grenzwertsatz, daß die korrespondierende Folge der standardisierten arithmetischen Mittel

$$ {\rm{Z}}_{\rm{n}} = \left( {\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{\rm{X}}_{\rm{i}} - \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{\rm{\mu }}_{\rm{i}} } } } \right)/\sqrt {\sum \sigma _{\rm{i}}^2 } $$

unter gewissen allgemeinen Bedingungen als asymptotische Verteilung die standardisierte Normalverteilung besitzt.