Aufgaben über Zufallsvariable, Diskrete und Kontinuierliche Verteilungen

Zusammenfassung

Auf der Grundlage eines Wahrscheinlichkeitsfeldes (Ω,S,W) ist eine Zufallsvariable durch die Abbildung X: Ω → ℜ dann definiert, wenn für jede reelle Zahl y für die Menge der Elementarereignisse { w | X(W) ≤ y} ∈ S gilt, d.h. ein Ereignis ist und damit eine Wahrscheinlichkeit W({W| X(W)≤y}) = F (y) besitzt. F(y) heißt Verteilungsfunktion. Durch sie ist eine Zufallsvariable eindeutig beschrieben. F(y) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X ≤ y ist. Bei den Anwendungen geht man zumeist von dieser direkten Definition einer Zufallsvariablen durch F aus. Aus dem Wahrscheinlichkeitscharakter der Verteilungsfunktion ergeben sich die folgenden formalen Eigenschaften;

• (1) F ist monoton nicht fallend,

• (2) F ist rechtsseitig stetig und linksseitig konvergent,

• (3) $\mathop {\lim }\limits_{{\rm{n}}^ \to - \infty } {\rm{F}}\left( {\rm{y}} \right) = 0,$

• (4) $\mathop {\lim }\limits_{{\rm{n}}^ \to - \infty } {\rm{F}}\left( {\rm{y}} \right) = 1.$