Die Kurventheorie der isotropen Ebene bezüglich der Gruppen M₄, ℒ₄, G₄ und Y₅

Zusammenfassung

In Analogie zu § 7 wollen wir im ersten Teil dieses Abschnittes die Kurventheorie der isotropen Ebene I₂ bezüglich der Gruppe M₄ der winkeltreuen isotropen Ähnlichkeiten (2.16) entwickeln; wir folgen hierbei der Abhandlung [98] von K. STRUBECKER. Im zweiten Teil dieses Abschnittes bestimmen wir Bogenlänge und Krümmung einer Kurve der isotropen Ebene bezüglich der Gruppen ℒ₄,G₄) und Y₅ wobei wir [120] folgend die Methode der Lie-Gruppen verwenden (vgl.[111],[91,40f]); ein Teil der dargestellten Ergebnisse findet sich auch in [121]. Die kompliziertere Bauart der Transformationsgruppe (2.16) der winkeltreuen isotropen Ähnlichkeiten läßt schon erwarten, daß die kurventheoretischen Ähnlichkeitsinvarianten eine kompliziertere Gestalt besitzen werden als die entsprechenden isotropen Bewegungsinvarianten zulässiger Kurven. Es sei C eine zulässige C^r -Kurve (r≧3) der isotropen Ebene, die wir in der Gestalt {x(t), y(t)}, t∈I parametrisieren. Es ist zweckmäßig, C mittels dualer Zahlen zu beschreiben, indem man setzt

$$z = z\left( t \right) = x\left( t \right) + \varepsilon y\left( t \right), wobei z\left( t \right) \in {c^r} \left( {r \geqslant 3} \right),R\left( {\dot z} \right) \ne o$$

(9.1)