Zusammenfassung
Warum betrachtet man uniforme Räumen Es sind vor allem zwei eng verbundene Gründe für dieses Interesse maßgebend. Zum einen kann man in uniformen Räumen gewisse, nicht allzu „temperamentvolle“ stetige Abbildungen über ihren Definitions-bereich hinaus fortsetzen. Zum andern ist die uniforme Invariante der Vollständigkeit von großer Bedeutung vor allem für die Analysis. Das Fortsetzungsproblem für stetige Abbildungen führt bei näherer Betrachtung ziemlich zwangsläufig auf Vollständigkeitsforderungen. Dabei stellt sich ein entscheidendes Problem in der Weise, daß man— umgekehrt zur Situation in Abschnitt 1—einer Folge oder einem Filter ansehen möchte, ob er konvergiert, obwohl man den Grenzwert nicht kennt. Es wird das bekannte Cauchy-Kriterium der Analysis sein, das hier in verallgemeinerter Form die zentrale Rolle spielt. (Wir werden die „Folgenvollständigkeit“ von IR nicht beweisen, denn es dürfte aus der Analysis hinreichend bekannt sein, daß in IR jede Cauchy-Folge konvergiert.)
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© 1977 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig
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Führer, L. (1977). Vollständigkeit. In: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-84064-6_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-84064-6_9
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-03059-9
Online ISBN: 978-3-322-84064-6
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