Stetigkeit

Zusammenfassung

Es hat lange gebraucht, bis man eine analytische Formulierung für die „anschauliche“ Stetigkeit von reellen Funktionen gefunden hatte. Wir haben in der Einleitung davon berichtet. Im Zuge der Cantorschen Untersuchungen über Punktmengen im IRⁿ, die ja die Wurzel der Allgemeinen Topologie darstellen, hat man auch eine gewisse Anschauung von dieser analytischen Beschreibungsform gefunden: Zur Idee eines stetigen Phänomens gehört es, daß nichts zerrissen wird, was zuvor „unendlich-nahe“ war. Da es bekanntlich nicht gelang, das „unendlich-Nahe“ in den übersichtlichen Kalkül der Analysis einzupassen ¹, ging man dazu über, es nicht als etwas Seiendes aufzufassen, sondern als etwas Werdendes. In unserer modernen Sprache, können wir das weniger mystisch ausdrücken: Eine konvergente (verallgemeinerte) Folge nähert sich mimer mehr ihrem Grenzwert, sie kommt üim beliebig nahe. Werden nun die Punkte der Folge und der Grenzpunkt stetig abgebildet, so soll sich daran nichts ändern; es soll nichts getrennt werden, was vorher beliebig nahe war. Konvergiert also (x_n)_n∈IN gegen X und ist f stetig, so soll (f(x_n))_n∈IN gegen f (X) konvergieren. Es liegt nahe zu versuchen, die Stetigkeit einer Funktion durch diese Eigenschaft analytisch zu charakterisieren und dann nach der Erhaltung weiterer Zusammenhangseigenschaften zu fragen. Es stellt sich heraus, daß die Präzisierung anschaulicher Zusammenhangseigenschaften recht problematisch ist, und wir werden diese Untersuchung erst in Abschnitt 10 durchführen. Hier wollen wir diese Konvergenzerhaltung zunächst ausführlicher studieren. In unserem allgemeinen Rahmen wird es nach den Überlegungen von Abschnitt 1 sinnvoll sein, außer der Konvergenzerhaltung von Folgen auch die von Filtern zu fordern. Wir werden dann auch sehen, inwiefern die zweite Forderung den Stetigkeitsbegriff einengt.