LAPLACE-Transformation

Zusammenfassung

Die LAPLACE-Transformation ist definiert durch die Integrale

$$\textup{X}(\textup{s}) = \int\limits_0^\infty \textup{x(t)e}^{-\textup{st}} \textup{dt}$$

$$\textup{x(t)} = \frac{1}{\textup{j}2\pi} \int\limits_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} \textup{X(s)e}^{\textup{st}} \textup{ ds}$$

Hierin ist s eine komplexwertige Variable

$$\textup{s} = \sigma + \textup{j}\omega$$

Die LAPLACE-Transformation ist anwendbar, wenn I x(t) eine kausale Funktion ist:

$$x(t) = 0 f\ddot ur t < 0$$

, die Konvergenzbedingung erfüllt ist:

$$\int\limits_{0}^{\infty}\left | \textup{x(t)} \right |\textup{e}^{-\sigma \textup{t}} \textup{ dt} <\infty$$

Gegenüber der FOURIER-Transformation (Abschn. 3) bedeutet einerseits die Bedingung (16.4) eine Einschränkung auf kausale Signale, andererseits die Bedingung (16.5) eine Erweiterung auf Signale, welche die Konvergenzbedingung der FOURIER-Transformation nicht erfüllen, die hier nochmals wiedergegeben wird:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left |\textup{x(t)} \right |\textup{dt} <\infty$$

Durch ein geeignetes σ ≥ 0 kann die Konvergenz mit (16.5) in allen praktischen Fällen erzwungen werden. Obwohl die Bedingungen der LAPLACE-Transformation und der FOURIER-Transformation unterschiedlich sind, gibt es Überschneidungen, d.h. Signale, für welche beide eingesetzt werden können.