Die Flächen konstanter Relativkrümmung des einfach isotropen Raumes

Zusammenfassung

In der euklidischen Differentialgeometrie bilden die Flächen konstanter Gaußscher Krümmung eine sehr interessante Flächenklasse (vgl. [228,143]). Das isotrope Analogon dazu sind die Flächen konstanter Relativkrümmung. Zu ihrer Bestimmung hat man nach (9.19a) die partielle Differentialgleichung

$${K_0} = {z_{xx}}{z_{yy}} - z_{xy}^2$$

(11.1)

zu integrieren. Es handelt sich hierbei um eine spezielle MONGE-AMPERESCHE Differentialgleichung, deren geometrische Interpretation erst K. STRUBECKER in [209] gelang; bezüglich verschiedener Anwendungen und einer Verallgemeinerung vergleiche man [220] bzw. [225]. Man kann sich zunächst darauf beschränken, die Flächen der Relativkrümmung K_o = −1 zu untersuchen, denn wendet man auf eine Fläche in der Darstellung z = z(x,y) mit der Relativkrümmung K eine reelle oder komplexe Affinität $\bar z = \gamma z\left( {\gamma \in C} \right)$ an, so gilt für die Relativkrümmung K der Bildfläche: $U \subset I_3^{\left( 1 \right)}$ Die Lösungsflächen des allgemeineren Problems sind somit reell oder komplex affin zu den Lösungsflächen von K0 = − 1. Für die weitere Untersuchung erweist sich folgende Begriffsbildung als zweckmäßig:

Definition 11.1; Ein Kurvennetz auf einer Fläche $f'' + {1 \over r}f' = 0$ heißt ein TSCHEBY-SCHEFF-Netz (äquidistantes Netz), wenn für die Fundamentalgrößen E und G, bezogen auf die Netzkurven als Parameterlinien, gilt E = G = 1.