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Die dreidimensionalen einfach isotropen Geometrien und ihre Invarianten

  • Hans Sachs
Chapter

Zusammenfassung

Im folgenden gehen wir vom dreidimensionalen, reellen projektiven Raum P3(R) aus, den wir durch projektive Koordinaten (x0 : x1 :x2: x3) beschreiben und gelegentlich auch komplex zu P3(C) erweitern. Auf P3 operiert die 15-parametrige Gruppe von Projektivitäten G15
$$ \{ \rho {\bar{x}_{0}} = {\alpha _{{00}}}{x_{0}} + {\alpha _{{01}}}{x_{1}} + {\alpha _{{02}}}{x_{2}} + {\alpha _{{03}}}{x_{3}}{\text{ }}\rho {\bar{x}_{1}} = {\alpha _{{10}}}{x_{0}} + {\alpha _{{11}}}{x_{1}} + {\alpha _{{12}}}{x_{2}} + {\alpha _{{13}}}{x_{3}}{\text{ \& mit}}Det\left( {{\alpha _{{ik}}}} \right) \ne 0,\rho {\bar{x}_{2}} = {\alpha _{{20}}}{x_{0}} + {\alpha _{{21}}}{x_{1}} + {\alpha _{{22}}}{x_{2}} + {\alpha _{{23}}}{x_{3}}{\text{ }}\rho {\bar{x}_{3}} = {\alpha _{{30}}}{x_{0}} + {\alpha _{{31}}}{x_{1}} + {\alpha _{{32}}}{x_{2}} + {\alpha _{{33}}}{x_{3}}{\text{ }} $$
(1.1)
swobei p ≠ 0 einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Hier und i. f. ist stets zu beachten, daß die projektiven Koordinaten eines Punktes aus P3 nur bis auf einen Faktor bestimmt sind, d. h. Äquivalenzklassen von Quadrupel sind (vgl. [35]); wir ziehen jedoch obige einprägsame Schreibweise vor. Im Sinne des Erlanger Programms ist die Geometrie (P3, G15) die projektive Geometrie (vgl. [180,5f]), deren Grundelemente wir wiederholt benützen werden; sie können z. B. in [33], [47], [71], [76], [105], [120] und [164] nachgelesen werden.

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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990

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  • Hans Sachs

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