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Die komplexen Zahlen

  • Hans Jörg Dirschmid

Zusammenfassung

Die Entwicklungsgeschichte der komplexen Zahlen war im Vergleich zu der der reellen Zahlen verhältnismäßig kurz. Komplexe Zahlen traten zum ersten Mal im Zusammenhang mit der Lösung quadratischer Gleichungen x2 = px + q mit negativer Diskriminante d = p2 + 4q < 0 auf, wie z.B. für p = 10, q = - 40,
$$ {x_1} = 5 + \sqrt { - 15} ,{x_2} = 5 - \sqrt { - 15} $$
Wenn man sich auch darüber im Klaren war, daß Aufgaben, die auf die Lösung solcher Gleichungen führen, sinnlos wären und diese daher gar keine Lösung haben könnten, wie Geronimo Cardano (1501–1576) seine Aufgabe „Man teile 10 in zwei Teile, deren Produkt 40 ist“ — die auf die beiden oben erwähnten Lösungen führt — qualifizierte, so war man sich doch der Möglichkeiten bewußt, die das Rechnen mit solchen Größen bringen konnte. So treten für kubische Gleichungen x3 = px + q, die durch
$$ x = \sqrt[3]{{\frac{q} {2} + \sqrt r }} + \sqrt[3]{{\frac{q} {2} - \sqrt r }},r = \left( {\frac{q} {2}} \right){}^2 - \left( {\frac{q} {2}} \right){}^3 $$
für r > 0 in reeller Weise gelöst werden, für r < 0 wiederum solche Ausdrücke auf, ohne daß gleichzeitig auch die Lösung x in eben diesem Sinne unsinnig wäre, z.B. für p = 30, q = 36, wofür man
$$ x = \sqrt[3]{{18 + \sqrt { - 676} }} + \sqrt[3]{{18 - \sqrt { - 676} }} $$
erhält; durch formales Rechnen vereinfacht sich dieser Ausdruck zu x = 6, welche Zahl tatsächlich die Gleichung löst.

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Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990

Authors and Affiliations

  • Hans Jörg Dirschmid

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