Lineare Funktionenräume und lineare Integraloperatoren

Zusammenfassung

Es sei C eine Klasse von Funktionen, die alle auf einem Intervall I definiert sind und gewisse gemeinsame Merkmale haben, wie zum Beispiel Stetigkeit, stückweise Stetigkeit oder Differenzierbarkeit auf dem Definitionsintervall I. Wir interessieren uns dabei vor allem für Funktionenklassen mit folgender Eigenschaft: Aus

$$ f(x) \in \quad und\quad g(x) \in C\quad folgt\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in C $$

((26.1))

für beliebige Zahlen α und β. Ist dabei C eine Klasse reellwertiger Funktionen, so sind mit α und β beliebige reelle Zahlen gemeint, für eine Klasse komplexwertiger Funktionen werden dementsprechend für α und β beliebige komplexe Zahlen zugelassen. Die Eigenschaft (26.1) besagt, daß mit je zwei Funktionen stets auch deren Summe eine Funktion dieser Klasse ist, ebenso das Produkt einer Funktion mit einer beliebigen Zahl. Eine solche Funktionenklasse hat hinsichtlich der Addition von Funktionen und der Multiplikation von Funktionen mit einer Zahl dieselbe Struktur wie eine lineare Mannigfaltigkeit von Vektoren, bei der die Addition von Vektoren und die Multiplikation von Vektoren mit einer Zahl nicht aus ihr hinausführt, das heißt, stets wieder einen Vektor dieser Mannigfaltigkeit ergibt. Wir nennen daher eine Funktionenklasse C mit der Eigenschaft (26.1) eine lineare Mannigfaltigkeit von Funktionen oder einen linearen Funktionenraum.