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Potenzreihen

  • Hans Jörg Dirschmid

Zusammenfassung

Einen besonders wichtigen Platz nehmen in den Anwendungen diejenigen Funktionenreihen ein, deren Glieder mit Hilfe der Potenzen von x aufgebaut sind. Eine solche Reihe
$$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} {x^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ... $$
(17.1)
wird eine Potenzreihe (in x) genannt. Die Konstanten an heißen die Koeffizienten der Potenzreihe. Beispiele für solche Reihen sind die geometrische Reihe
$$ \frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + {x^2} + {x^3} + ... $$
und die Reihe für die Exponentialfunktion
$$ {e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} + ... $$
Etwas allgemeiner ist die Reihe
$$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... $$
(17.2)
die eine Potenzreihe in x — x0 genannt wird. Dabei ist x0 eine feste Zahl, die auch als An-schlußstelle bezeichnet wird. Offenbar kann man eine solche Potenzreihe durch Einführung der neuen Veränderlichen ξ = x — x0 in eine Potenzreihe mit der Anschlußstelle ξ0 = 0, also der Form (17.1), überführen. Da diesem Vorgang eine Verlegung des Koordinatenursprunges in den Punkt x0 entspricht, können wir uns in den folgenden Untersuchungen, ohne an Allgemeinheit einzubüßen, auf Potenzreihen der Form (17.1) beschränken.

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Literatur

  1. 1).
    Vgl. Abschnitt 4.5, Seite 100.Google Scholar
  2. 1).
    Adrien Marie Legendre, 1752–1833.Google Scholar

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990

Authors and Affiliations

  • Hans Jörg Dirschmid

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