Advertisement

Reihen mit konstanten Gliedern

  • Hans Jörg Dirschmid

Zusammenfassung

Der ungeheure Aufschwung, den die mathematische Wissenschaft mit der Entwicklung der Differential- und Integralrechnung genommen hat, brachte eine Fülle von Ergebnissen an den Tag, bei denen vor allem Summen mit unendlicher Summandenzahl im Mittelpunkt standen. Viele dieser Entdeckungen, die Eulersche Reihe für die Exponentialfunktion
$$ e^x = 1 + \frac{x} {{1!}} + \frac{{x^2 }} {{2!}} + \frac{{x^3 }} {{2!}} + ... $$
die auch nach Nikolaus Mercator (1620–1687) benannte Reihe für den Logarithmus
$$ \ln (1 + x) = x - \frac{{x^2 }} {2} + \frac{{x^3 }} {3} - \frac{{x^4 }} {4} + \frac{{x^5 }} {5} - + ... $$
die von Newton gefundene Binomialreihe
$$ (1 + x)^a = 1 + \frac{a} {{1!}}x + \frac{{a(a - 1)}} {{2!}}x^2 + \frac{{a(a - 1)(a - 2)}} {{3!}}x^3 + ... $$
der man eine so hohe Bedeutung beimaß, daß sie sogar in den Grabstein Newtons eingemeißelt wurde, sowie die von Leibniz entdeckte Darstellung
$$ \frac{\pi } {4} = 1 - \frac{1} {3} + \frac{1} {5} - \frac{1} {7} + \frac{1} {9} - \frac{1} {{11}} + - ... $$
in der die Kreiszahl π erstmals unter einem rein arithmetischen Gesichtspunkt auftrat, müssen zu den schönsten Ergebnissen der Infinitesimalrechnung gezählt werden. Auch die geometrische Reihe
$$ \frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... $$
als Ergebnis der nicht abbrechenden Division 1: (1 - x) war im 18. Jahrhundert wohlbekannt.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1990

Authors and Affiliations

  • Hans Jörg Dirschmid

There are no affiliations available

Personalised recommendations