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Reihen- und Produktentwicklungen holomorpher und meromorpher Funktionen

  • Andreas Herz

Zusammenfassung

Die Frage nach der Holomorphie der Grenzfunktionen von Potenz- und Laurentreihen wurde in den Paragraphen drei und vier des zweiten Kapitels positiv beantwortet. Mit der umgekehrten Fragestellung, nämlich der Entwickelbarkeit holomorpher Funktionen durch diese beiden Reihentypen, beschäftigen sich nun die ersten beiden Paragraphen dieses sechsten Kapitels. Auf jeder Kreisscheibe, die im Holomorphiebereich liegt, kann eine holomorphe Funktion in eine Taylorreihe entwickelt werden (§1), während die Darstellung durch eine Laurentreihe auf jedem Kreisring, auf dem die Funktion holomorph ist, möglich ist (§2). In den Paragraphen drei und vier werden die Nullstellen und die isolierten Singularitäten von holomorphen Funktionen analysiert. Der dritte Paragraph beschränkt sich hierbei auf Punkte der Zahlenebene ℂ. Diese Ergebnisse werden dann im vierten Paragraphen auf den unendlich fernen Punkt übertragen. Im anschließenden Paragraphen wird mit den meromorphen Funktionen eine weitere wichtige Klasse von Funktionen eingeführt. Deren Bedeutung liegt darin, dass die Menge der auf einem Gebiet meromorphen Funktionen einen Körper darstellt, also mit nichtverschwindenden Funktionen dividiert werden kann. Der letzte Paragraph beschließt das Kapitel mit zwei wichtigen Sätzen der Funktionentheorie, dem Satz von Mittag-Leffler und dem Weierstraßschen Produktsatz. Diese Sätze liefern die Existenz von meromorphen bzw. holomorphen Funktionen zu vorgegebenen Polstellen und Hauptteilen bzw. Nullstellen und Nullstellenordnungen. Im Anschluss an diese beiden Sätze werden jeweils prinzipielle Verfahren zur Konstruktion der gesuchten meromorphen bzw. holomorphen Funktionen vorgestellt.

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Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003

Authors and Affiliations

  • Andreas Herz
    • 1
  1. 1.KemptenDeutschland

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