Körper

Zusammenfassung

Der Begriff des Körpers wurde in voller Allgemeinheit von Heinrich Weber 1893 eingeführt. Weber sagt in seinem Lehrbuch der Algebra zur Einführung des Körperbegriffs folgendes:

• „Ein System von Zahlen wird ein Zahlkörper genannt, wenn es so in sich vollendet und abgeschlossen ist, daß die vier fundamentalen Rechenoperationen (die vier Species), die Addition, die Subtraction, die Multiplication und die Division, ausgeführt mit irgend welchen Zahlen des Systems, ausgenommen die Division durch Null, immer auf Zahlen führen, die demselben System angehören. Dieser Begriff, der eine Eintheilung der Zahlenarten nach einem natürlichen Gesichtspunkte giebt, ist von Dedekind eingeführt (Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Auflage 1871, § 159). Es ist für die Algebra von der größten Bedeutung, und es ist nicht gleichgültig, dafür einen bezeichnenden und ausdrucksvollen Namen zu haben. Das Wort Zahlkörper ist von Dedekind nach zahlreichen Analogien gebildet, in denen das Wort Körper (corpus, corps) in ähnlicher Weise eine Vereinigung von zusammengehörigen Dingen, der eine gewisse Vollständigkeit zukommt, bedeutet.“

• „Der Begriff des Zahlkörpers kann erweitert und auf alle Grössen übertragen werden, mit denen nach den Regeln der vier Species gerechnet werden kann, ...“

• „Da wir vorläufig unsere Betrachtungen nicht einschren wollen, so werden wir jetzt von Körpern schlechtweg sprechen, und die Objecte, mit denen die Rechnungen auszuführen sind, die sowohl Zahlen als Functionen sein können, als Größen oder auch als die Elemente des Körpers bezeichnen.“

• „Ein Körper ist also dann ein System von Grössen von der Vollständigkeit, dass in ihm die Grössen addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt werden können.“

“Die bisher übliche Einführung der irrationalen Zahlen knüpft nämlich geradezu an den Begriff der extensiven Größen an - welcher aber selbst nirgends streng definiert wird - und erklärt die Zahl als das Resultat der Messung einer solchen Größe durch ein zweite gleichartige. Statt dessen fordere ich, daß die Arithmetik sich aus sich selbst heraus entwickeln soll.

(Richard Dedekind 1872 in seinem Aufsatz: Stetigkeit und irrationale Zahlen)