Diskrete Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Um die Fourier-Transformation direkt zu implementieren, muß man Integrale mit stark oszillierenden Integranden auswerten. In seltenen Fällen, wie zum Beispiel für gewisse Verteilungen oder für einige einfache Funktionen, kann dies analytisch vorgenommen werden. Eine exakte analytische Formel liefert beträchtliche Einsicht in ein Problem, aber die Fourier-Transformation ist viel zu nützlich, um sie nur auf solche seltene Spezialfälle zu beschränken. Im allgemeinen Fall können wir ein Verfahren der numerischen Integration verwenden wie zum Beispiel die zusammengesetzte Simpsonregel ([2], S.605ff); das rasche Oszillieren von e^ikx für große |k| erfordert aber eine Aufteilung in viele kleine Teilintervalle und führt zu beträchtlichem Aufwand. Darüber hinaus liefert die Simpsonregel nur dann gute Approximationen, wenn die zu transformierende Funktion vier stetige Ableitungen besitzt.