Mehrdimensionale Integration

Zusammenfassung

Zusammenfassung Wir haben nun gelernt, wie man mehrdimensionale Funktionen differenziert und wie man sie längs Kurven integrieren kann. Was uns noch fehlt, ist der Begriff der mehrdimensionalen Integration, d. h. der Integration über mehrdimensionale Bereiche. Im Eindimensionalen haben wir über Intervalle integriert, so daß es naheliegend ist, im Mehrdimensionalen über die entsprechenden Bereiche, nämlich Quader

$$ Q: = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2}, \ldots {x_n}} \right) \in {\mathbb{R}^n}\left| {{a_k} \leqslant {x_k} \leqslant {b_k}\left( {k = 1, \ldots, n} \right)} \right.} \right\} = \left[ {{a_2},{b_1}} \right] \times \left[ {{a_2},{b_2}} \right] \times \cdots \times \left[ {{a_n},{b_n}} \right] $$

(6.1)

zu integrieren. Es wird sich herausstellen, daß Integration über derartig einfache Bereiche nicht ausreichend dazu ist, eine der eindimensionalen Theorie analoge Integrationstheorie im Mehrdimensionalen aufzubauen, insbesondere können wir für Integrale über Quader keine Substitutionsregel angeben, so daß wir im Anschluß die Integration auf eine größere Vielfalt von Bereichen ausdehnen werden.