Implizite Funktionen und Iteration

Zusammenfassung

Zusammenfassung Häufig sind Funktionen nur implizit gegeben. Beispielsweise definiert die Kreisgleichung F(x, y) = x ² + y ^{2 –} 1 = 0 zwei explizite Funktionen g _± durch Auflösen der Kreisgleichung nach y, nämlich $y = {g_{\pm }}(x) = \pm \sqrt {{1 - {x^2}}}$. Ist ein Punkt (ξ, η) des Graphen der Kreisgleichung mit η ≠ 0 gegeben, dann gibt es genau eine explizite Lösung der impliziten Kreisgleichung, nämlich g ₊ bzw. g_-, die in einer ganzen Umgebung von ξ gültig ist und eine stetige, ja sogar differenzierbare Funktion darstellt. Man wird nun zwar im allgemeinen Fall nicht erwarten können, daß für jede implizit gegebene Funktion eine explizite Auflösung gelingt, z.B. ist dies bekanntlich schon bei Polynomgleichungen vom Grad größer als 4 i. a. nicht mehr möglich, aber man fragt sich, ob eine implizite Funktion generell den Graphen einer Funktion repräsentiert. Dies wird im allgemeinen, wie schon das betrachtete Beispiel lehrt, nur lokal, d. h. in einer Umgebung von ξ möglich sein. Unter recht geringen Voraussetzungen an die darstellende implizite Gleichung ist dies tatsächlich der Fall. Wir formulieren und beweisen diesen wichtigen Sachverhalt, den man den Satz über implizite Funktionen nennt, zunächst einmal für den einfachsten Fall, nämlich dem zweier Variablen.