Metrische Räume und Stetigkeit

Zusammenfassung

In der linearen Algebra werden lineare Abbildungen L: ${\mathbb{R}^n}$ → ${\mathbb{R}^m}$ behandelt, die durch eine m x n-Matrix

$$ A: = \left( {a_{jk} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} } & {a_{12} } & \ldots & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & \ldots & {a_{2n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & \cdots & {a_{mn} } \\ \end{array} } \right) $$

repräsentiert werden. Lineare Abbildungen sind besonders einfache Punktionen, die ${\mathbb{R}^n}$ in ${\mathbb{R}^m}$ abbilden. Wir wollen in der Folge kompliziertere Punktionen betrachten, die eine Teilmenge des ${\mathbb{R}^n}$ in ${\mathbb{R}^m}$ abbilden. Um Begriffe wie Stetigkeit in diesen Rahmen zu übertragen, stellt man zunächst fest, daß es bei reellen Punktionen f: I → $\mathbb{R}$ zur Definition der Stetigkeit darauf ankam, daß man Entfernungen zwischen Punkten in $\mathbb{R}$ messen konnte: Für kleine Abstände im Urbildbereich sollten auch die Abstände im Bildbereich klein sein.