Partiell-rekursive Funktionen

Zusammenfassung

Bei den vorausgegangenen Erörterungen wurde u.a. die Auffassung dargelegt, dass die im Hinblick auf effektive Berechenbarkeit wesentliehen Fragen schon anhand von arithmetischen Funktionen studiert werden können, dass sich also die Berechenbarkeitstheorie im Wesentlichen als Theorie der effektiv berechenbaren arithmetischen (partiellen) Funktionen darstellen lässt. Diese Auffassung liegt auch allen weiteren hier vorgetragenen Ausführungen zugrunde; damit wird immer von Zahlenfunktionen, -mengen und -relationen die Rede sein. Der im Folgenden behandelte Ansatz soll nun einen bequemeren Umgang mit diesen Größen ermöglichen, als ihn die Abstützung auf Turingmaschinen gestatten würde. Er besteht darin, dass stattdessen bestimmte Verfahren zur Definition von Funktionen — und nur diese — als zulässig erklärt werden. Es ist dann (inzwischen) leicht zu sehen, dass die dadurch erfassten Funktionen sämtlich Turingberechenbar sind; dass umgekehrt auch jede Turing-berechenbare Funktion auf die besagte Weise gewonnen werden kann, erfordert dagegen einen längeren Beweis. — Der Ansatz geht zurück auf Ideen der amerikanischen Mathematikerin Julia Robinson und wurde in Lehrbuchform von Shoenfield vorgestellt. Die folgende Darstellung lehnt sich weitgehend an die von Shoenfield an.