Differentialrechnung

Zusammenfassung

Um eine Funktion genauer beschreiben zu können als es etwa mit Begriffen wie monoton wachsend oder monoton fallend oder mit dem Stetigkeitsmodul möglich ist, muß man ein Maß für die lokale Änderung der Funktion finden. Ein solches Maß für die lokale Änderung der Funktion f in der Nähe eines vorgegebenen Punktes x₀ ist etwa der Differenzenquotient

$$ \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} $$

(4.1)

für kleines h ≠ 0, denn es gilt

$$ f\left( {{x_0} + h} \right) = f\left( {{x_0}} \right) + \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} \cdot h $$

Geometrisch ist der Differenzen-quotient (4.1) die Steigung der Sekante

$$ s(x) = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) $$

die den Graphen der Funktion f in den Punkten (x₀, f(x₀)) und (x₀ + h, f(x₀ + h)) schneidet.