Periodische Funktionen

Zusammenfassung

Auf ein reibungsfrei aufgehängtes Pendel der Masse M wirkt bei einer Auslenkung um φ Grad in tangentialer Richtung die der Auslenkung entgegengerichtete Kraft — Mg sin φ (g ist die Erdbeschleunigung). Zwischen der Auslenkung φ(t) zur Zeit t und der Winkelbeschleunigung φ″(t) besteht daher nach den Gesetzen der Mechanik der Zusammenhang

$$ Mr\varphi ''(t) = - Mg \cdot \sin \left( {\varphi (t)} \right) $$

, den man für kleine Auslenkungen φ durch

$$ Mr\varphi ''(t) = - Mg\varphi (t) $$

ersetzen darf. Durch Differentiation kann man überprüfen, daß die Auslenkung φ als Funktion der Zeit dann durch

$$ \varphi (t) = a\,\sin \,\left( {\sqrt {{\frac{g}{r}t + {\varphi_0}}} } \right) $$

mit von der Anfangssituation abhängigen Konstanten a und φ ₀ gegeben ist. Nach der Zeit $L = 2\pi \sqrt {{\frac{r}{g}}}$ der ursprüngliche Zustand wiederhergestellt. Nach Satz 5.25 ist dies die einzige Lösung.