Symmetrie-Gruppen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden systematisch geometrische ebene und räumliche Objekte gemäß dem Erlanger Programm von Felix Klein nach ihren Symmetrien geordnet und klassifiziert. Die Untersuchung konkreter Objekte auf ihre Symmetrien hin kann schon sehr früh in der Schule begonnen werden und verbindet gewinnbringend Aspekte der Kunst und der Mathematik. Hier werden zunächst die in der Schule behandelten Kongruenzabbildungen untersucht und die Struktur der Gruppe, die sie bilden, genauer analysiert. In den nächsten beiden Abschnitten werden möglichst symmetrische zwei- und dreidimensionale geometrische Objekte betrachtet und ihre Symmetriegruppen bestimmt. Beispiele sind reguläre n-Ecke in der Ebene und Platonische Körper im Raum. Die in den Abschnitten 3.4 und 3.5 untersuchten Bandornamente und Flächenornamente sind Verzierungselemente, die seit Jahrtausenden in allen Kulturkreisen und in allen Bereichen der Kunst und des täglichen Lebens verwendet worden sind und immer noch verwendet werden. Man kann sie sich zunächst ganz anschaulich gesehen vorstellen durch das Aneinanderlegen identischer Kacheln in einer Richtung der Ebene im ersten Fall, in zwei Richtungen der Ebene im zweiten Fall. Schon Kinder der Primarstufe können mathematische Entdeckungen beim Umgehen mit diesen Ornamenten machen und sie nach ihren Symmetrieeigenschaften unterscheiden. Eine genaue Klassifikation aller möglichen Symmetrietypen ist jedoch insbesondere bei den Flächenornamenten nicht ganz einfach.