Rand- und Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Viele Anwendungen gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Physik, insbesondere den klassischen Gebieten der Festkörpermechanik und Festigkeitslehre, der stationären Schwingungsvorgänge sowie kritischer Belastungen von Bauteilen und Gebäuden führen auf Randwertprobleme, unter denen diejenigen für gewöhnliche Differentialgleichungen bei räumlich eindimensionalen Problemen als einfachstes Modell dienen können. Bei den Randwertproblemen erweisen sich Eigenwertprobleme als besonders interessant, denn mit Hilfe der vollständigen Systeme von Eigenlösungen gelingt die Begründung der Entwicklung beliebiger Funktionen in Fourierreihen nach diesen Systemen. Mit ihrer Hilfe gewinnt man die Spektraldarstellung sowohl der Differentialoperatoren als auch der Lösung inhomogener Randwertaufgaben. Dieser Zugang bereitet die Spektralmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen vor, die in den zugehörigen Übungsaufgaben behandelt worden sind, auf deren Darstellung wir allerdings angesichts der begrenzten Zeit für eine solche Vorlesung hier verzichtet haben. Zur Einführung in dieses Gebiet, das aus den entsprechenden Methoden zur Untersuchung quantenmechanischer Systeme in der Physik entstanden sind, werden wir uns hier nur auf den einfachen Fall der Sturmschen Randwertprobleme auf einem kompakten reellen Intervall beschränken. Die Übertragung der Methoden auf die etwas allgemeineren Sturm-Liouvilleschen Randwertprobleme dürfte dem Studierenden später nicht schwerfallen.