Lower und Upper Bounds

Zusammenfassung

Mit Hilfe von Lower und Upper Bounds, die in der deutschsprachigen Literatur auch als untere und obere Schranken bezeichnet werden,¹läßt sich der Wertebereich des (unbekannten) optimalen Zielwerts einer Probleminstanz einschränken. Dabei bestimmen Lower bzw. Upper Bounds Werte, die nicht größer bzw. nicht kleiner als der optimale Zielwert sind.^{2, 3} Bounds spielen aus mehreren Gründen, vor allem bei NP-schweren Problemstellungen, eine wichtige Rolle:

• Bounds werden als Ersatzgröße zur Beurteilung der Lösungsqualität von durch Heuristiken ermittelten Lösungen eingesetzt, weil optimale Zielwerte von Instanzen NP- schwerer Probleme i. d. R. nicht bekannt sind.⁴ Dabei erfolgt die Beurteilung der Lösungsqualität anhand von Bounds sowohl für einzelne Probleminstanzen als auch in bezug auf das allgemeine Lösungsverhalten von Heuristiken. Hierzu wird bei Minimie- rungsproblemen meistens auf Lower Bounds zurückgegriffen. Aber auch Upper Bounds lassen sich zur Beurteilung der Lösungsqualität einsetzen, beispielsweise beim direkten Vergleich der von unterschiedlichen Heuristiken ermittelten Zielwerte, da alle durch heuristische Lösungsverfahren bestimmten Zielwerte gleichzeitig Upper Bounds darstellen.⁵

• Innerhalb von Lösungsverfahren werden mit Hilfe von Bounds die Konsequenzen bestimmter (Teil-) Zuordnungen in Hinblick auf die Lösungsqualität beurteilt. Vor allem bei exakten Lösungsansätzen (z. B. bei Branch and Bound-Verfahren) werden Bounds zur Abschätzung der Lösungsqualität von Teilmengen des Lösungsraums eingesetzt, weil die Berechnung aller einzelnen Zielwerte i. d. R. sehr aufwendig ist und im Laufe des Verfahrens entsprechende Berechnungen wiederholt durchzufuhren sind. Erst die durch den Einsatz von Bounds erzielte Reduktion des Zeitbedarfs ermöglicht häufig den Einsatz von exakten Lösungsverfahren.⁶

• Durch den Einsatz von Bounds läßt sich der Ablauf von Lösungsverfahren steuern. So wird durch die Berechnung von Lower und Upper Bounds das Intervall vorgegeben, innerhalb dessen systematisch, beispielsweise anhand einer binären Suche, nach einem (optimalen) Zielwert zu suchen ist.⁷ Zudem können Lower Bounds auch bei Abbruchkriterien einzelner Lösungsverfahren eingesetzt werden.⁸ Für den Einsatz der Bounds ist es erforderlich, daß sie die optimalen Zielwerte möglichst gut und effizient abschätzen. Bei zu großen Abweichungen sind kaum Rückschlüsse auf die optimalen Zielwerte möglich, wodurch die Lösungsqualität der Verfahren falsch eingeschätzt werden kann bzw. sich der Ablauf von übergeordneten Verfahren nicht gezielt verbessern läßt. Dabei darf die Berechnung der Bounds nicht selbst einen hohen Rechenaufwand, beispielsweise durch das Lösen von Instanzen NP-schwerer Problemstellungen, erfordern.⁹