Zusammenfassung
„Ein junger Geometer wagt es, Ihnen einige Entdeckungen, die in der Theorie der elliptischen Funktionen gemacht wurden, vorzulegen, auf die er durch das eifrige Studium Ihrer schönen Schriften geführt wurde. Sie sind es, mein Herr, dem dieser brillante Teil der Analysis den hohen Grad der Vollkommenheit schuldet, bis zu dem sie gebracht wurde, und nur durch das Schreiten auf den Spuren eines so großen Meisters werden die Geometer dahin gelangen, sie [die Analysis] jenseits der Grenzen zu stoßen, die ihr bisher vorgeschrieben waren.“ Dieses schrieb am 5. August 18271 Carl Gustav Jacob Jacobi voller Ehrfurcht an Legendre.
Legendres Briefe erhalten Sie [...] mit großem Dank zurück. Die Briefe sind höchst ehrenvoll für Sie und müssen als Erinnerung einer späteren Zeit an eine glückliche Jugend aufbewahrt werden.
Bessel an Jacobi (21. Juni 1828)
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Literatur
Brief 1.
Brief 4.
die Bahnstörungen der Himmelskörper
Brief 22.
Brief 23
als Nachfolger Lagranges
Es sei nur an einige Stätten der Lehre und Forschung erinnert: Collège de France, Ecole Normale, Ecole Polytechnique, Observatoire, Faculté des Sciences, Académie des Sciences. Dort lebten und wirkten die Mathematiker Laplace (gestorben am 5. März 1827), Legendre, Fourier (gestorben am 16. Mai 1830), Poisson und Cauchy (er verließ 1830 Paris). Bezüglich der Mathematik sei verwiesen auf die drei Bände Grattan-Guinness 1990.
Er befindet sich im Brief Abels vom 24. Oktober 1826 an seinen Lehrer Bernt Michael Holmboe.
Bjerknes 1930, 88–89.
Das mathematische Ordinariat bekleideten nacheinander Wrede, Jacobi, Richelot, H. Weber, F. von Lindemann, Hilbert. Minkowski; das mathematische Extraordinariat: Richelot, Hesse, Rosenhain, Hurwitz und Hilbert. Es sei verwiesen auf Rauschning — von Nerée 1995.
Repräsentanten der alten Generation waren neben Legendre: Laplace (1749–1827) und Fourier (1768–1830). Dazu gehörten auch (als „mittlere Generation“) Gauß (1777–1855), Poisson (1781–1840), Bolzano (1781–1848), Hamilton (1788–1856), Cauchy (1789–1857), Poncelet (1788–1867), Lobatschewski (1792–1856), Green (1793–1841), v. Staudt (1798–1867), Plücker (1801–1868). Die neue Generation repräsentierten Ostrogradski, Abel, J. v. Bolyai, Jacobi, Dirichlet, Grassmann, Liouville, Kummer, Galois, Boole, Weierstraß, Cayley, Hermite, Kronecker, Riemann.
Klein 1926, 87–88. Den Grund „für die merkwürdige Erscheinung des Absterbens des bis zu dieser Zeit so überaus blühenden Lebens unserer Wissenschaft in Frankreich“sah Klein „in einem allgemeinen psychologischen Gesetz […], das für die einzelnen wie für die Völker sich geltend macht: daß auf Perioden des Aufschwungs erbarmungslos Perioden der Ruhe und Unproduktivität folgen. [… Es] schieben sich […] andere Nationen an die Stelle der ermüdeten, deren Errungenschaften sie der eigenen, neue Früchte bringenden Arbeit zugrunde legen“(Klein 1926, 88).
Band I (1825), Band II (1826): Legendre 1825/1832 I und II.
Siehe weiter unten.
Integrale, bei welchen der Integrand aus u und der Quadratwurzel aus einem Polynom dritten oder vierten Grades von u rational zusammengesetzt ist.
vom 24. Oktober 1847 an von Fuß
G.C. Fagnano „machte die merkwürdige Entdeckung, dass das Integral, welches den Bogen der Curve ausdrückt, welche damals die Mathematiker unter dem Namen Lemniscate vielfach beschäftigte, ähnliche Eigenschaften besitzt wie das einfachere Integral, welches einen Kreisbogen darstellt, und dass z.B. zwischen den Grenzen zweier Integrale dieser Art, deren eines dem doppelten Werthe des anderen gleich ist, ein einfacher algebraischer Zusammenhang Statt findet, so dass ein Lemniscatenbogen, wenn gleich eine Transcendente höherer Art, doch wie ein Kreisbogen durch geometrische Construction verdoppelt oder gehälftet werden kann“(Dirichlet 1852 in Jac. I, 8).
“Jacobi-Fuß 1908, 23.
Jacobi — Fuß 1908, 31. Nach dem Eulerschen Additionstheorem, das „zu den schönsten Bereicherungen gehört, welche die Wissenschaft diesem großen Forscher verdankt [,…] hängt ein gewisses Integral, welches allgemeiner ist als das von Fagnano betrachtete und in unserer jetzigen Terminologie elliptisches Integral der ersten Gattung heißt, so von seiner Grenze ab, dass zwei solche Integrale mit beliebigen Grenzen immer in ein drittes vereinigt werden können, dessen Grenze eine einfache algebraische Verbindung der Grenzen jener ist, gerade so wie der Sinus eines zweitheiligen Bogens algebraisch aus den Sinus seiner Bestandtheile gebildet werden kann. Aber das elliptische Integral ist allgemeiner als dasjenige, welches einen Kreisbogen ausdrückt. Auf die einfachste Form gebracht hängt es nicht wie dieses bloß von seiner Grenze, sondern auch von einer andern in der Function enthaltenen Größe, dem sogenannten Modul, ab. Das Eulersche Theorem ergab nur Beziehungen zwischen Integralen mit demselben Modul“(Dirichlet 1852, in Jac. I, 8–9).
Von besonderer Bedeutung war seine Erkenntnis des Additionstheorems für elliptische Integrale erster Gattung.
Dirichlet 1852 in Jac. I., 9.
Dirichlet 1852 in Jac. I, 9.
Legendre 1788b.
Legendre 1793.
Legendre 1811/1817.
Legendre 1825/1832.
Enneper — Müller 1890, 3.
Krazer 1909, 55.
in einem Brief an A. von Humboldt; Humboldt — Jacobi 1987, 91.
Krazer 1909, 55, meint allerdings, daß dies nicht ganz zutreffend zu sein scheint.
siehe auch weiter unten
Gauß — Geppert 1927, 189.
Eulersches Additionstheorem
Dirichlet 1852, in Jac. I, 9–10. 10–11
Vgl. Koenigsberger 1904, 35–37.
Legendre 1811/1817.
Dirichlet 1852. in Jac. I, 7
John Landen (1719–1790)
Richelot 1868, Vorwort.
Vgl. Brief 1.
Dirichlet 1852, in Jac. I, 12–13.
Jacobi 1827b.
Jacobi 1827b, Sp.33.
Legendre 1825/1832 MI.
Vgl. Humboldt — Jacobi 1987, 47–49.
Zum Transformationsproblem elliptischer Integrale siehe auch die Briefe 1 bis 11, 15 bis 17.
Jacobi 1829b.
Jacobi 1829b, 2; Jac. I,55.
gedruckt: Jacobi 1827b
Jacobi 1829b, 5–6; Jac. I, 59–60.
Jacobi beschrieb den Inhalt der Arbeit im Brief 3.
und dem dänischen Mathematiker Degen in Kopenhagen vorlegte
Gauß l801.
Dirichlet 1852, in Jac. I, 11. 12.
Brief 2.
Vgl. den Schluß des Briefes 6.
Vgl. den Schluß des Briefes 5.
Jacobi 1827b.
Gauß — Schumacher 1860/1865 1, Briefe 303, 307.
Gauß — Schumacher 1860/1865 I, Brief 306.
Gauß — Schumacher 1860/1865 1, Brief 308.
Gauß — Schumacher 1860/1865 I, Brief 312.
Bessel-Schumacher ABBAW, Brief-Bd. I, B1. 332.
Bessel-Schumacher ABBAW, Brief-Bd. B7, B1. 347
Bessel-Schumacher ABBAW, Brief-Bd. B7, B1. 352.
Gauß — Schumacher 1860/1865 I, Brief 339.
Gauß — Schumacher 1860/1865 1, Brief 341 vom 30.5.1828.
Brief 5.
Gauß 1801, Art. 335; Gauß 1889, 397–398.
Jac. VII, 400.
Gauß 1813
Schlesinger 1933, 145.
Gauß 1811.
Gauß 1889, 472.
Jacobi 1829b.
Siehe weiter unten.
Jac. I, 237.
Vgl. Schlesinger 1933, 123.
Gauß hat aber nirgends konkret angedeutet, daß die Reihen und Produkte, die in Gauß 1811 untersucht werden, zur Theorie der elliptischen Funktionen gehören.
Jac. I, 152f.
Gauß 1820.
Vgl. Jac. III, 48, 57
Es sei verwiesen auf: Gauß — Geppert 1927
Bjerknes 1930, 113.
Ore 1957, 184, 186ff.
Abel 1827a.
Auch: Houzel 1985, 440.
Wahrscheinlich sogar vor dem 4. Oktober; Ore 1957, 186.
Vgl. den Brief Bessels an Schumacher vom 13. Oktober 1827, in dem die folgende — schon oben zitierte — Passage vorkommt: Jacobi „hat Freude an seinen mathematischen Erfindungen. Gauß hat viel zu lange gewartet mit den elliptischen Transcendenten. Was Abel darüber bekannt gemacht hat, werden Sie kennen. Dieser ist ein Mann, der leicht Vieles von dem was Gauß hat, vorwegnehmen kann“(Bessel -Schumacher ABBAW, Bd. 7, Brief Nr. 90, B1. 347).
Jacobi 1827c.
Jacobi 1832c; datiert vom 12. Juli 1832.
Jac. II, 8–9.
Gundelfinger 1898, 343.
Dühring 1887, 587: „Die elegante Art und Weise des norwegischen Mathematikers war mit der abgerissenen Manier des Hebräers Jacobi, der ja auch nebenher in Behandlung desselben Gegenstandes ähnliche Schritte that, so contrastirend, wie die Sprachen, die sie beide gewählt hatten. Abel schrieb lebendiges Französisch und Jacobi nicht blos todtes, sondern auch recht schlechtes Latein.“Dühring 1930, 88: „Zu den Entlehnungen kommt aber bei Jacobi noch die unschöne, ungefüge und zersplitterte Art seiner Darstellung, an der ein Kenner, auch ohne sonst davon zu wissen, den Juden sofort inne werden muß. Einiges Talent ist eben noch lange kein Genie, und wenn man, um gleich das Äußerste gegenüberzustellen, sich an Lagranges geniale und ästhetisch harmonische Gedankenfügung und Darstellung erinnert, so begreift man den Widerwillen, den der Jude Jacobi gegen dieses hohe Muster empfand und schlecht verhehlte. Seit Jacobi sind die Judenallüren in der Mathematik häufiger geworden; es ist aber auch die Unfruchtbarkeit und zerfahrene Unfähigkeit im Bereich dieser Wissenschaft bei der nächsten und heutigen Generation erheblich gestiegen.“
wie Gundelfinger 1898 berichtete
Krazer 1909, 61.
wie schon Gundelfinger betonte
Hansteen berichtete in einem Brief an Schumacher, daß Abel ganz bleich geworden wäre. Er hätte zum Konditor gehen und einen Schnaps nehmen müssen, um der Erregung Herr zu werden.
Krazer 1909, 60.
Siehe Koenigsberger 1879, worin in chronologischer Reihenfolge die Übersicht über die abwechselnd von Abel und Jacobi veröffentlichten Arbeiten gegeben wird. Eine klare Einsicht in die Folge und den Zusammenhang der Entdeckungen ist besonders durch den vorliegenden Briefwechsel ermöglicht worden.
dem heutigen Oslo
Pieper 1988, 32: Jacobi an Kummer (14.8.1834).
Koenigsberger 1904, 73.
Dirichlet 1852 in Jac. I, 13.
Dirichlet 1852 in Jac. I, 25.
in Jacobi 1832a; Jac. I, 379, datiert 22.4.1832; in Jacobi 1832c; Jac. II. 10, datiert 12.7.1832
Zum Abelschen Theorem siehe auch Brill — Noether 1894, 213–220; Houzel 1985, 496–503; Pexider 1903.
Abel 1828c.
Vgl. Briefe 12, 13, 14.
Ab. I, 445.
Abel 1839c.
Siehe Briefe 13, 14; Abel 1841.
Lange-Nielsen 1927, 63.
Brun 1954, 243, auch Lorey 1929, 8.
Über den Verbleib der in Paris eingereichten Arbeit siehe Brief 14.
Abel 1829e; datiert: 6.1.1829.
Brill -Noether 1894, 220.
Jac. I, 379.
in einem Brief vom 24.3.1832 an Crelle (Jac. I, 378)
(Lat.) Denkmal beständiger als Erz: vgl. Horaz: Carmen III, 30, V.l: „Exegi monumentum aere perennius“— „Ich habe ein Denkmal beständiger als Erz errichtet“[Hinweis von E. Knobloch].
Vgl. auch Brief 14, 20.
Jac. I, 379; Jacobi hätte sie lieber „Abelsche Transcendenten“genannt.
Vgl. Jacobi, Jac. I, 377.
Jacobi 1842, Jacobi 1846f.
Jac. II, 14–15.
Siehe Klein 1926, 111f.; Brill — Noether 1894, 234–236; Houzel 1985, 503–508; Krazer 1909, 66–68; auch Jacobi 1882.
Jacobi 1835b.
Klein 1926, 106.
Siehe Briefe 16 und 17.
Pieper 1988, 32.
Jac. I, 255–263.
Das hat Jacobi offenbar übersehen; vgl. unten.
Siehe Euler 1963.
Das Berufungsschreiben Friedrich II. ist vom 15.2.1741 datiert; Euler kam am 25. Juli 1741 in Berlin an.
Sie erschien 1751: Euler 1751a.
Euler — Goldbach 1965, 266–267
Knobloch 1984, 357. Als Abhandlung erschien: Euler 1751c (EV 175).
Über die Beweggründe, die Euler hatte, „an den Satz zu glauben, ehe er bewiesen war“, hat Georg Pólya (1887–1985) in seinem schönen Buch „Mathematik und plausibles Schließen“reflektiert, worauf hier nur verwiesen werden kann.
Jacobi-Fuß 1908, 63.
Übersetzung aus dem Französischen. Originaltext in Jac. I, 252.
Übersetzung aus dem Lateinischen. Originaltext in: Jac. I, 238.
JacEll-1835/1836-ABBAW, B1. 44.
Legendre 1830 II, 128ff.
Von deren Auftreten bei Jak. Bernoulli wußte Jacobi nichts; vgl. Eneström 1908.
Thetareihen
Jacobi -Fuß 1908, 60.
Vgl. Jac. I, 237, (6.).
da C(0) = 1 ist
Jac. I, 234.
Jac. II, 160, 281.
Jac. II, 255.
Jacobi 1829b Art. 63, 64; JacEll-1835/1836-ABBAW, B1. 24.
In seinen Vorlesungen 1839/1840 über elliptische Funktionen sagte er, daß die Bestimmung der Konstanten als unendliches Produkt „bei der Begründung der elliptischen Funktionen mit großen Schwierigkeiten verknüpft war“und daß „die Lösung dieser Aufgabe die ganze Theorie einen bedeutenden Schritt vorwärts brachte, da man erst dadurch eine Reihe von merkwürdigen Resultaten bekommt, von denen man ohne dies nur die Quotienten erhalten haben würde“(JacEll-1839/1840-ABBAW, B1. 67).
Vgl. Jac. I, 230–234; Jac. II, 155–160; vier Beweise befinden sich in seinen Vorlesungen über elliptische Funktionen.
Schlesinger 1933, 72.
In einer nachgelassenen Arbeit aus dem Jahre 1825/1826 bewies er sie (Gau. III, 461–464; vgl. Gauß -Geppert 1927, 66–74.
Jac. VI, 281–282.
JacEll-1835/1836-ABBAW, B1. 38.
Ibid., B1. 59.
JacEll-1839/1840-ABBAW, B1. 77
Jacobi — Fuß 1908, 60. 164 Jac. I, 237.
JacEU-1835/1836-ABBAW, B1. 58–59; JacEll-1839/1840-ABBAW, B1. 77ff; Jac. II, 254.
Jac. VI, 282.
Jac. VI, 287.
Er wirft bei dieser Gelegenheit auch Gauß vor, „sich 1809 die 1805 publizierte Methode der kleinsten Quadrate“aneignen zu wollen. Die Methode der kleinsten Quadrate (vgl. aus damaliger Sicht: Bessel 1848, 27–29) wurde unabhängig voneinander von Legendre und Gauß entdeckt. Legendre hat sie zuerst publiziert: Legendre 1806. Er stellte über sie allerdings nur eine Plausibilitätsbetrachtung an. Gauß hat zwei Begründungen für die Methode veröffentlicht: Gauß 1809a, Buch 2, Abschnitt 3; Gauß 1821/1823; beide enthalten in Gauß 1887 In der Anzeige von Gauß 1809a schrieb Gauß: „Zu der schärferen Ausfeilung der Elemente eines Himmelskörpers hat man nicht die möglichst kleine Anzahl von Beobachtungen, sondern so viele als nur zu Gebote stehen, anzuwenden. Wie man sich dabei zu verhalten habe, lehrt der dritte Abschnitt des zweiten Buches… Die Grundsätze, welche hier ausgeführt werden, und welche von dem Verfasser schon seit 14 Jahren angewandt, und von demselben schon vor geraumer Zeit mehreren seiner astronomischen Freunde mitgeteilt waren, führen zu derjenigen Methode, welche auch Legendre in seinem Werke ‘Nouvelles méthodes pour la determination des orbites des comètes’ [Legendre 1806] vor einigen Jahren unter dem Namen ‘Méthode des moindres carrés’ aufgestellt hat: die Begründung der Methode, welche von dem Verfasser gegeben wird, ist diesem ganz eigentümlich“(Gauß 1809b, 954–955; vgl. auch das von Borchardt in seiner Fußnote der Stelle des Briefes 2 angegebene Zitat aus Gauß 1809a).
Legendre 1788a.
Kronecker 1875, 267; Kro. II, 3
Euler — Goldbach 1965, 116–121
Kronecker 1875, 268; Kro. II, 4.
Lag. II, 383–399.
Legendre 1798, 186
Legendre 1798, 214.
Gauß 1801.
Siehe auch Pieper 1978.
Dirichlet 1854; Pieper 1978, 74–84.
Gauß 1979, 41, 60, 88.
Vgl. Pieper 1978, 28, 51, 86.
Gauß 1801, Art. 151.
Gauß 1801, Art. 151; Gauß 1889, 108–109.
Gauß 1889, 340–343.
Legendre 1798.
Wie er selbst in der Vorrede betont, Gauß 1889, Vii.
Gauß 1889, 449.
Gau. I, 465.
Also diese Annahme! Maser übersetzte fälschlicherweise „denselben“, was sich dann auf den Satz von der arithmetischen Progression beziehen würde. Diesen Übersetzungsfehler bestätigte mir Herr E. Knobloch, TU Berlin, dem ich herzlich danke.
Gauß 1889, 449.
Legendre 1808, Legendre 1830.
Ausführlicher wird über Legendres Versuche, das Quadratische Reziprozitätsgesetz zu beweisen, in Pieper 1997 berichtet.
Gauß 1801, Art. 125–129; Gauß 1889, 85–90.
Ein Satz, „cuius demonstatio satis diu operam nostram elusit“(Gau. I, 94), „dessen Beweis hinreichend lange unsere Bemühung verspottete“(Übersetzung: E. Knobloch), „eine Kraftprobe Gaußschen Geistes“(Kronecker 1876, 341).
Kummer 1887, 11–14.
Kummer 1887, 14–17.
Kummer 1887, 16.
Legendre 1886 II, 161–323.
Legendre 1886 II, 187; auch Legendre 1808, 468. Beispiele in Gauß 1889, 428; Legendre 1808, 469; Legendre 1886 II, 189.
Lag. II, 791.
Gauß 1801, Art. 124; Gauß 1889, 85.
Gauß 1801, Art 357; Gauß 1889, 427.
Legendre 1886 II, 187; „il est facile“, auch Legendre 1808, 468.
Wie schon Gauß 1889, 428.
Gauß 1889, 428.
Legendre 1886 II, 187.
Siehe Legendre 1886 II, 187–188; Legendre 1808, 468–469.
Legendre 1886 II, 188. Dieses ist in Legendre 1808 nicht beschrieben worden, sondern erst in Legendre 1830.
Legendre 1886 II, 189.
Legendre 1886 II, 189–190. Siehe auch Legendres Ausführungen im Brief 21.
“Legendre 1832b.
Legendre erwähnte hierbei die Jacobische Kritik nicht Da die Berechnung der Koeffizienten der Polynome Y und Z doch recht kompliziert ist, sei verwiesen auf: Legendre 1832; Dirichlet — Dedekind 1863, 369–401.
Jacobi 1837, 173 (Jac. VI, 263–264).
Genocchi hat diese Resultate Jacobis 1851 aus der Gleichung (***) hergeleitet. Vgl. Dickson 1952 II, 376
Dirichlet 1837; Dir. I, 343–350; siehe auch Bachmann 1872, 294–297.
Poisson 1830, Poisson 1831
Poisson 1831, 81.
Als Felix Klein das Absterben der bis zu der Zeit um 1830 blühenden Mathematik in Frankreich konstatierte (siehe oben), schrieb er: „Man hat die von Poisson und anderen Schülern von Laplace vertretene Tendenz, nur noch die angewandte Mathematik zu pflegen und gelten zu lassen, dafür verantwortlich gemacht. Es will mir aber scheinen, daß man hier Ursache und Wirkung verwechselt hat, denn ich bin der Meinung, daß eine solche einseitige Entwicklung, die das richtige Gleichgewicht zwischen Theorie und Anwendung nicht mehr zu halten weiß, bereits die Folge und das äußere Anzeichen eines tiefergehenden Übels ist“(Klein 1926, 88)
Der Bericht erschien im Band 11 der „Mémoire de l’Academie des sciences de l’Institut de France“Die in den Oeuvres von Fourier, Band II, S. XI, angegebene „Liste des ouvrages scientifiques“enthält unter II. zwar alle Berichte Fouriers über die 1822 bis 1827 erschienenen Arbeiten, merkwürdigerweise aber nicht den Bericht für das Jahr 1828!
Hierin widmet sich Legendre vor allem den beiden von Jacobi gefundenen Theoremen über die Transformation elliptischer Integrale; Legendre 1825/1832 III, 1. Suppl.
Bei der Abfassung seines ersten Suppléments, datiert vom 12.8.1828, hatte Legendre vor allem folgende Arbeiten Jacobis und Abels im Auge: Jacobi 1827b, Jacobi 1827c, Abel 1827a.
Fourier 1832, IV
Siehe hierzu vor allem Knobloch — Pieper — Pulte 1995.
Jacobi — Jacobi 1907, 90.
Jacobi — Jacobi 1907, 115.
Jacobi — Jacobi 1907, 13; siehe Dyck 1902; Koenigsberger 1904, 131–134; Knobloch — Pieper — Pulte 1995.
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Pieper, H. (1998). Zur Korrespondenz zwischen Legendre und Jacobi. In: Pieper, H. (eds) Korrespondenz Adrien-Marie Legendre — Carl Gustav Jacob Jacobi. Teubner-Archiv zur Mathematik, vol 19. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-81035-9_4
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