Elliptische Kurven in der Kryptographie

Zusammenfassung

Das ElGamal-Verfahren mit der Verschlüsselung m ↦ (g ^k , m(g ^a ) ^k ) für den geheimen Schlüssel a und dem öffentlichen Schlüssel g ^a (s. 19.12) bzw. das abgeleitete Signaturverfahren lässt sich nicht nur über GF(q)* realisieren, sondern auch in anderen Gruppen. Für die Sicherheit des Systems ist es dabei wieder wichtig, dass die Berechnung des diskreten Logarithmus (s.§19 !) äußerst schwierig ist²²¹. Für die Anwendungen wichtige Gruppen stehen im Zusammenhang mit elliptischen Kurven (elliptic curves); die Public-key-Verfahren, die solche Kurven (in der sogenannten EC-Kryptographie, ecc) benutzen, liefern Alternativen zum RSA-Verfahren; sie kommen mit Primzahlen wesentlich geringerer Länge aus (z.Zt. etwa 200 Bit) und können damit hardware-mäßig (in Smart Cards ohne Koprozessoren) billiger implementiert werden. Daher führen wir hier kurz in die Theorie der elliptischen Kurven ein.²²²