FOURIER-Reihenentwicklung periodischer Funktionen (Anhang H)

Zusammenfassung

Eine Funktion f(x) soll im Intervall von x = a bis x=b durch eine andere Funktion g(x) angenähert werden. Die beste Annäherung wird erreicht, wenn die mittlere quadratische Abweichung zwischen f(x) und g(x) zu einem Minimum wird (Bild 1a):

$$\frac{{\text{1}}} {{{\text{b - a}}}}\int\limits_{\text{a}}^{\text{b}} {{\text{[g(x) - }}} {\text{f(x)]}}^{\text{2}} {\text{ dx = Min}}$$

((1))

f(x) sei eine periodische Funktion mit der Periode 2π (Bild 1b/c): f(x) = f(x±b2π). Dann ist es zweckmäßig, für g(x) ebenfalls eine periodische Funktion mit derselben Periodizität zu wählen; Ansatz:

$$ g(x) = \frac{{\frac{1}{{{a_0}}}}}{2} = {a_1}\cos x + {a_2}\cos 2x + \cdot\cdot{\rm{ + }}{b_1}\sin x + {b_2}\sin 2x + \ldots $$

((2))

Über die Koeffizienten a_n und b _n, kann noch verfügt werden; sie ennzeichnen jene Gewichte, mit denen die einzelnen Glieder der trigonometrischenReihebei der Approximation von f(x) eingehen. G.Ilautet nunmehr:

$$ \frac{1}{{2\pi }}\cdot\int\limits_0^{2r} {[g(z;{a_0},{a_1},{a_2}, \cdots {b_1},{b_2} \cdots )} - f(x){]^2}dx = Min $$

((3))

Indem sämtliche partielle Ableitungen nachden Koeffizienten Null gesetztwerden, wird der Bedingung genügt. Die Rechnung liefert:

$$ {a_0} = \frac{1}{\pi }\cdot\int\limits_0^{2\pi } {f(x)dx,{\rm{ }}{a_n} = \frac{1}{\pi }} \cdot\int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cdot\cos nx{\rm{ dx}}} ,{\rm{ }}{{\rm{b}}_n} = \frac{1}{\pi }\cdot\int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cdot\sin nx{\rm{ }}dx} $$

((4))

Für die Näherungsfunktion gilt damit:

$$ g(x) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos nx{\rm{ + }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \sin nx} $$

((5))