Zusammenfassung
Während Heinrich Tietze an seiner Habilitationsschrift arbeitete, dachte Max Dehn weiter über topologische Fragen nach. Wie Wirtinger und Tietze stieß auch er dabei auf Knoten. Allerdings kam es zwischen den Wiener Mathematikern und Dehn zunächst nur zu einem punktuellen Kontakt — beide arbeiteten in verschiedenen hegemonialen Bereichen, wie in den letzten beiden Kapiteln bereits deutlich geworden ist. Auch das Ziel von Dehns Arbeit war anfänglich ganz verschieden von dem Tietzes. Während dieser das durch Poincaré umrissene Feld der Topologie zu systematisieren suchte und dabei unter anderem das durch Wirtingers funktionentheoretische Arbeiten entstandene Wissen einarbeitete, hoffte Dehn ein ganz spezielles Problem zu lösen, das Poincarés Arbeiten offengelassen hatten: die topologische Charakterisierung des „gewöhnlichen Raumes“ bzw. der dreidimensionalen Sphäre. Es sollte ihm nicht gelingen. Stattdessen wurde er auf eine neue Konstruktionstechnik für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten geführt, in welcher Knoten die entscheidende Rolle spielten. Das Studium dieser Mannigfaltigkeiten führte Dehn sowohl auf eine Reihe von Aussagen über Knoten als auch auf einige sehr fundamentale Probleme der kombinatorischen Gruppentheorie. Während Dehns entsprechende Arbeiten nur einige recht spezielle Fragen definitiv lösten, warfen sie neue Fragenkomplexe auf, von denen sich in der Folge zeigte, daß sie zu den tiefsten sowohl der dreidimensionalen Topologie als auch der kombinatorischen Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts gehörten. Insbesondere ist bis heute nicht geklärt, ob der von Dehn eröffnete Weg zur Bearbeitung der Poincaréschen Vermutung nicht doch zu ihrer Entscheidung führen könnte.
Sehr geehrter Herr Geheimrath, anbei schicke ich Ihnen eine topologische Arbeit. Ich glaube darin, das wie mir scheint auch an und für sich wichtige Problem gelöst zu haben: welches sind die topologischen Eigenschaften, die den gewöhnlichen Raum vor allen anderen charakterisieren? Max Dehn an David Hilbert, 1908
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Ein späterer Beleg hierfür ist z.B. (Dehn 1910, 137).
Diese Aussage ist eine Übersetzung der bereits von Thomson und Maxwell aufgestellten Behauptung, daß jedes Knotenkomplement zweifach zusammenhängend ist, in die Poincarésche Terminologie. Eine Maxwells allgemeiner Formel entsprechende Behauptung für die Zusammenhangszahl von durch ein System geschlossener Flächen berandeten Raumgebieten hatte auch Poincaré ohne weiteres Argument in seinen Aufsatz „Analysis situs“ aufgenommen (Poincaré 1895, § 6). — Hier und im folgenden habe ich Dehns Bezeichungen abgeändert, um innerhalb dieses Kapitels eine konsistente Notation zu erhalten.
Dehn an Hilbert, 12. Februar 1908.
Dehn an Hilbert, 16. April 1908.
Andere Kommentierungen dieser Arbeit Dehns finden sich in Stillwells Einleitung zu (Dehn 1987) und bei (Volkert 1994). Beide arbeiten jedoch m.E. nicht deutlich genug heraus, wie Dehn von der Untersuchung des Poincaréschen Problems zum Studium der Knoten geführt wurde.
Vgl. Dazu (Epple 1999a, § 29). ♠ Es sei darauf hingewiesen, daß Dehns Konstruktion „Poincaréscher Räume“ nicht ganz genau dem entspricht, was heute als Dehn-Chirurgie bezeichnet wird. Zum einen betrachtete Dehn berandete Mannigfaltigkeiten und nicht die geschlossene Verheftung zweier Volltori. Zum anderen beschränkte er sich auf den Fall von Verheftungskurven, die auf homologisch triviale Mannigfaltigkeiten führten. Die Idee, beliebige Verheftungskurven zu betrachten, lag ihm fern, und mehr noch die Frage, ob sich durch wiederholte „Dehn-Chirurgie“ alle geschlossenen, orientierten 3-Mannigfaltigkeiten erzeugen lassen, wie (Volkert 1994, 189) nahelegt. Erst eine präzise angebbare Reihe von Ereignissen in einer stark veränderten historischen Situation hatte diese Verallgemeinerung der Dehnschen Technik zur Folge. ♠
(Dehn 1910, 140.) Dehn selbst gab dem Problem zunächst keinen Namen. Er nannte außerdem noch das heute „Konjugationsproblem“ genannte Problem. Weiteres hierzu in § 85.
Dehn wies besonders auf den Artikel (Maschke 1896) hin; vgl. dazu (Chandler und Magnus 1982, 23 f.). Heute wird Dehns „Gruppenbild“ auch als „Cayley-Graph“ einer Gruppe bezeichnet.
(Chandler und Magnus 1982, 54 f.) weisen daraufhin, daß Dehns Interesse für algorithmische Fragen ebenfalls als Zeichen seiner Nähe zu dem Hilbert der „Mathematischen Probleme“ verstanden werden kann. Nach den ersten Beweisen der Unlösbarkeit mancher algorithmischer Probleme durch Gödel Anfang der dreißiger Jahre scheint Dehn vermutet zu haben, daß für bestimmte Gruppen das formulierte Problem in der Tat unlösbar war, d.h. daß kein endliches Verfahren der geforderten Art existiert. Erst nach Dehns Tod wurde dies durch aufsehenerregende Arbeiten von Novikov und Boone bestätigt, vgl. dazu (ebd., Abschn. II.11).
Auch (Chandler und Magnus 1982, 26) machen auf diesen Punkt aufmerksam.
Vgl. oben, § 75.
Dehn meinte zunächst irrtümlicherweise, es handele sich um die „durch die Spiegelung erweiterte Iko saedergruppe“ (Dehn 1910, 163). Diese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe der Ordnung 5 und verschieden von der Dehnsehen (bzw. Poincaréschen, s.u.) Gruppe, einer damals als „Kongruenzgruppe“ bekannten binären Erweiterung der Ikosaedergruppe (heute durch SL 2(ℤ5) bezeichnet). Eine Abbildung der Dehnschen Gruppe auf die Rotationssymmetrien des Ikosaeders ergibt sich (abweichend von Dehns Text), indem C 2 einer Achsendrehung um eine Ecke des Ikosaeders und C 4 einer Achsendrehung um den Mittelpunkt eines an diese Ecke grenzenden Dreiecks zugeordnet wird. Dehn korrigierte seinen Irrtum später in einem Brief an H. Kneser vom 28. April 1929 (im Besitz von M. Kneser).
Klaus Volkert hat zur Erklärung des Dehnschen Schweigens bemerkt, daß Poincaré lediglich zeigte, daß die Fundamentalgruppe seiner Mannigfaltigkeit die Ikosaedergruppe der Ordnung 60 als homomorphes Bild besitzt (Volkert 1994, 145 u. 187). Die beiden fast bis in die Bezeichnungen identischen Präsentationen Poincarés und Dehns lassen sich allerdings so einfach ineinander umrechnen — es müssen lediglich die offensichtlich redundanten Generatoren C 1 und C 3 aus Dehns Präsentation eliminiert werden -, daß ich davon ausgehe, daß Dehn sich über die Übereinstimmung im klaren war.
Seifert verwendete dazu seine Theorie gefaserter Räume (Seifert 1932, 204 ff.).
Die betreffenden Briefe sind in Stillwells Einleitung zu (Dehn 1987) näher besprochen. Erwähnenswert ist, daß neben Kneser auch E. R. van Kampen, F. Frankl und L. Pontrjagin die Lücke in Dehns Beweis ungefähr gleichzeitig bemerkten — die Zahl der kritischen Leser topologischer Arbeiten war inzwischen deutlich gestiegen. Van Kampen war kurze Zeit sogar von der Falschheit des Lemmas überzeugt, vgl. van Kampen an H. Kneser, 23. und 26. September 1929 (im Besitz von M. Kneser).
Vgl. dazu und zu den Konsequenzen für die Knotentheorie (Epple 1999a, § 29).
Daß Dehn mindestens die gruppentheoretischen Teile von (Tietze 1908) kannte, ist an seinen eigenen Arbeiten erkennbar, vgl. z.B. (Dehn 1911). Dazu auch (Chandler und Magnus 1982, 17 ff.).
Das Hauptresultat des vorliegenden Aufsatzes war die Lösung der drei Probleme für die Fundamentalgruppen geschlossener Flächen (bzw. allgemeiner für Gruppen, in deren Relationen jede Erzeugende im Ganzen höchstens zweimal auftritt). Dehn stützte sich dabei stark auf die Darstellung solcher Flächen durch Randidentifikation von regulären Polygonen der euklidischen bzw. hyperbolischen Ebene. Ein Jahr später ergänzte Dehn diese Resultate durch eine Arbeit, in der er ein rein kombinatorisches Verfahren angab, mit dem das Wortproblem und das Konjugationsproblem für Fundamentalgruppen orientierbarer, geschlossener Flächen gelöst wurde (Dehn 1912); vgl. dazu (Chandler und Magnus 1982, 20 f.).
Vor allem Dehns Schüler Magnus betonte wiederholt die „Berühmtheit“ dieses Artikels, vgl. z.B. (Magnus 1978) und (Chandler und Magnus 1982, 19).
(Dehn 1914, 406–409). Im folgenden benütze ich weiterhin Dehns frühere Bezeichnungen, d.h. G Kl ist die von C 1, C 4 erzeugte Gruppe mit den Relationen \( {C_1}C_4^{{ - 1}}{C_2} = {C_2}C_4^{{ - 1}}{C_3} = {C_3}C_4^{{ - 1}}{C_1} = 1 \). Dehn verwendete dismal Symbole a i .
Otto Schreier gab später ein sehr kurzes, rein kombinatorisches Argument für die zentrale Charakterisierung der Automorphismen von G Kl , das selbst solche Überlegungen überflüssig machte; vgl. § 92.
Magnus bestätigte (und begrüßte) dies auch an anderen Beispielen. So schrieb er Dehn das Wissen über den 1927 von Schreier bewiesenen Satz zu, daß alle Untergruppen freier Gruppen selbst frei sind, denn, wie Dehn angeblich sagte, „schließlich sind alle Untergraphen von Bäumen Bäume“ (Chandler und Magnus 1982, 27).
Ich verweise noch einmal auf Rheinbergers Diskussion dieser in der Forschung erzeugten Struktur einer „eigenen, inneren Zeit“ von Forschungsprozessen (Rheinberger 1992,49 ff., hier 50).
Ähnliches gilt natürlich auch für etliche Arbeiten von Poincaré selbst. Das am besten studierte Beispiel ist die „Entdeckung“ homoklinischer Punkte von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen; vgl. (Barrow-Green 1997).
Zu dieser Arbeit vgl. (Epple 1999a, § 31).
Dies vermutet jedenfalls Wilhelm Magnus (Magnus 1978, 140).
Vgl. (Mehrtens 1987, 200).
Die letzten beiden waren allerdings nicht verbeamtete Extraordinarien. Hauptquelle für das folgende ist (Siegel 1964); vgl. auch (Scharlau 1989).
Dies geht nicht nur aus Siegels Bericht und einer äußerst hochachtungsvollen Bemerkung André Weils hervor (Weil 1980), sondern auch aus den umfangreichen Akten des Zirkels (im Besitz von C. J. Scriba, dem ich für die Gelegenheit zur Einsicht herzlich danke).
Dehn hatte die Berichte von Ethnologen über die Polyrhythmik mancher außereuropäischer Kulturen zur Kenntnis genommen: „Wenn, wie die Ethnologen berichten, bei gewissen Volksstämmen mehrere verschiedene Rhythmen, Trommeltakte, gleichzeitig von verschiedenen Personen ausgeführt werden, so entsteht schon eine Situation, die einer mathematischen Betätigung nahe ist.“ (Ebd., 125 f.)
(Siegel 1964) vermutet, daß Dehns Entlassung ein Racheakt des Mathematikers und hochrangigen NS-Ministerialbeamten Theodor Vahlen war. Dehn hatte eine von dessen frühen Arbeiten über die Grundlagen der Geometrie vernichtend kritisiert, vgl. Dehn an Hilbert, 22. Oktober und 29. November 1902, ferner die von Dehn verfaßte Rezension eines Buchs von Vahlen in den Jahresberichten der DMV von 1905. Diese Darstellung wird auch durch einen Nachruf auf Dehn von Willy Hartner in der Frankfurter Allgemeinen Zeitung vom 8. Juli 1952 gestützt. Dort heißt es: „Als [Vahlen] im Frühjahr 1935 ins Reichserziehungsmi-nislerium berufen wurde, wußte Dehn, daß seine Tage an der Frankfurter Universität gezählt waren. Was er vorausgesehen hatte, trat unverzüglich ein: Mit Wirkung vom 1. April 1935 wurde er, vor Inkrafttreten der Nürnberger Gesetze, unter dem fadenscheinigen Vorwand, daß sein Lehrstuhl aus Sparmaßnahmen einzuziehen sei, in den Ruhestand versetzt.“ Zu Vahlen vgl. (Siegmund-Schultze 1984). Das Zitat aus Hartners Nachruf findet sich in (Siegmund-Schultze 1998, 290). — Otto Szasz wurde bereits 1933 entlassen und emigrierte in die USA.
Der erste Satz des Aufsatzes lautete: „Die Betrachtung der unvermittelt auftretenden Änderungen in dem Zustand der Mathematik erweckt immer wieder den fast leidenschaftlichen Wunsch, die Einzelheiten dieser Ereignisse so genau zu erforschen, daß die Unstetigkeiten sich in stetiges Geschehen aufzulösen scheinen, daß an die Stelle des Sprungs die Entwicklung tritt und unser Kausalbedürfnis befriedigt wird.“ (Dehn 1937, 1.) Vgl. zum Stichwort des „Kausalbedürmisses“ auch Abschn. 1.3.
Der frischgebackene Vorsitzende der DMV, Wilhelm Süss, urteilte hierzu in einem Schreiben an das Reiehserziehungsministerium, er sehe „keine Gefahr“, daß Threlfall sich diesem Kreis anschließe; vgl. Süss an Regierungsrat Dames, 5. Oktober 1937, Universitätsarchiv Freiburg, Akten W. Süss, C 89/53. In einem entsprechenden Gutachten über die Eignung von Siegel für Göttingen hatte Süss bereits im August bemerkt: „Zudem wäre eine Entfernung aus der Frankfurter Athmosphäre gerade für Siegels persönliche Entwicklung vermutlich nur förderlich, wenn ich mir auch dessen bewußt bin, dass aus Siegel niemals mehr ein typischer, bekennender Nationalsozialist wird, wie wir ihn durchschnittlich überall wünschen.“ Süss an Dames, 4. August 1937, Universitätsarchiv Freiburg, Akten W. Süss, C 89/53.
(Siegel 1964) nennt die Etappen: State University of Idaho, Pocatello; Illinois Institute of Technology, Chicago; St. John’s College, Annapolis, Maryland. Aufschlußreiche Informationen gibt ferner die umfassende Studie der Emigration von Mathematikern aus Deutschland (Siegmund-Schultze 1998).
Die folgenden Informationen stützen sich auf (Siegel 1964), (Sher 1994).
Vgl. den in Norwegen veröffentlichten Artikel (Dehn 1940).
Dehns erste Veröffentlichungen in den USA waren Teile einer Serie über die Hauptetappen der Geschichte der Mathematik (Dehn 1943a,b,c, 1944a,b).
Zitiert nach (Sher 1994).
Dehn an Kamke, 13. August 1948; zitiert nach (Siegmund-Schulze 1998, 318). — Dehn wurde wahrscheinlich Ende 1938 im Zuge der Erledigung der intern so genannten „Judenfrage“aus der von Wilhelm Süss geführten DMV ausgeschlossen.
Vgl. insbesondere (Mehrtens 1990, Kap. 6). Dazu auch meine Rezension (Epple 1996a).
Sie wurde bereits von Max Weber auch als eine „spezifisch moderne“Rationalitätsform beschrieben, vgl. z.B. (Weber 1921, 1. Teil, Kap. III).
Vgl. (Peukert 1987).
Dieser Ausdruck ist Geoffrey Eleys Antwort auf die umstrittene Frage der Modernität des Nationalsozialismus und allgemeiner der Katastrophen des Zeitalters der Extreme (Eley 1991).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1999 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Epple, M. (1999). Poincarésche Räume, Knoten, Gruppen: Max Dehn. In: Die Entstehung der Knotentheorie. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-80295-8_9
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-80295-8_9
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-322-80296-5
Online ISBN: 978-3-322-80295-8
eBook Packages: Springer Book Archive