Zusammenfassung
Nach dem ersten Weltkrieg mußte der Faden der mathematischen Beschäftigung mit Knoten neu aufgenommen werden. Wie im letzten Kapitel bereits erwähnt, waren es dabei zunächst Dehns Arbeiten, die von den Mathematikern wahrgenommen wurden. Ein charakteristisches Zeugnis dafür, wie weitgehend unsichtbar die Wiener Beiträge zu geworden waren, gibt ein knapper Kommentar Oswald Veblens, der zu den ersten Mathematikern in den Vereinigten Staaten zählte, die sich ernsthaft für die Topologie zu interessieren begannen. In seinen 1922 als Buch erschienenen Cambridge Colloquium Lectures on Analysis Situs schrieb Oswald Veblen zum Thema der Knoten:
„A large number of types of knots have been described by Tait and others and a list of references may be found in the Enzyklopädie article on Analysis situs. But a more important step towards developing a theory of knots was taken by M. Dehn, who introduced the notion of the group of the knot, which is essentially the group of the generalized three-dimensional complex obtained by leaving out the knot from the three-dimensional space. Dehn gave a method for obtaining the group of a knot explicitly and applied it to the construction of [...] Poincaré spaces [...].“ (Veblen 1922, 150.)
Was die Knoten angeht, so braust es hier in meinem Kopf gewaltig, eine gräßlich anstrengende Tätigkeit.
Kurt Reidemeister, 1925
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Die Oberflächlichkeit der Veblenschen Bemerkung zeigt sich auch daran, daß er gerade jene konkreten Invarianten nannte (die Betti-Zahlen), die keine Rolle für die Knotentheorie spielten.
Die folgenden biographischen Angaben stützen sich vor allem auf die Nachrufe (Artzy 1972) und (Bachmann et al. 1972) sowie auf Behnkes Erinnerungen (Behnke 1978). Unglücklicherweise sind kaum Nachlaßteile Reidemeisters bekannt, abgesehen von einiger Korrespondenz mit seinem Doktorvater Hecke (im Nachlaß Heckes am Mathematischen Seminar der Universität Hamburg), mit Hellmuth Kneser (im Besitz Martin Knesers), und wenigen Briefen an Mitglieder des Wiener Kreises (UB Konstanz).
Vgl. fast wortgleich (Bachmann et al. 1972, 2) und (Behnke 1978, 54). Eine Kostprobe von Reidemeisters frühen literarischen Neigungen geben auch seine in den ersten Nummern der Hamburger Abhandlungen publizierten Rezensionen, etwa Reidemeisters humoristische Besprechung von Eddingtons Space, Time and Gravitation im ersten Band. Im selben Band auch eine treffende und Reidemeisters Distanz klarstellende Bemerkung über Bieberbachs anwendungsorientierte Funktionentheorie: „Aber auch der Theoretiker kommt auf seine Rechnung, nicht minder der Patriot und der Sprachforscher, und man wird sich über den Expressionismus in der Mathematik kaum verbreiten dürfen, ehe man den reichen Stilblütenflor dieses Leitfadens ausgewertet hat.“
Die Stationen waren Pisa, Göttingen, Bonn, Greifswald, Prag, Leipzig, Königsberg und Tübingen. Zu Blaschke vgl. (Burau 1963) und (Sperner 1963). Eine knappe Übersicht über Archivalien zu Blaschkes Leben gibt (Reich 1997).
Genauere Informationen über die in Wien lehrenden Mathematiker finden sich in (Einhorn 1983). Zu Schreier, der bereits 1929 starb, vgl. den kurzen Nachruf in Band 7 der Hamburger Abhandlungen sowie (Chandler und Magnus 1982, Abschn. II.3).
Vgl. hierzu die Autobiographie Mengers (Menger 1994, 31 ff.).
Eine enge persönliche Beziehung zwischen Reidemeister und Neurath liegt auch deshalb nahe, weil Reidemeisters Schwester Marie, mit der Neurath vor den Nazis nach England floh, 1941 dessen zweite Frau wurde, vgl. (Geier 1992, 22 f.); zu Hahn (ebd., 38 f.).
Dies berichtete nicht nur Tietze (vgl. § 75), sondern es geht auch aus (Artin 1925, 58) hervor.
Dies geht aus einem Brief Reidemeisters an H. Kneser vom 6. Januar 1923 hervor. Dieser und die folgenden Briefe Reidemeisters an H. Kneser befinden sich im Besitz M. Knesers.
Neben Oswald Veblens Analysis Situs von 1922 und den 1923 erschienenen, der Flächentopologie gewidmeten Vorlesungen über Topologie Bela v. Kerékjártós. — Reidemeister gab seine diesbezüglichen Pläne allerdings schnell wieder auf. Kneser hielt dagegen an dem Plan fest, in der veränderten Form eines längeren Abschnitts über kombinatorische Topologie für einen projektierten zweiten Band der Kerékjártóschen Vorlesungen. Als klar wurde, daß dieser nicht erscheinen würde, arbeitete Kneser sein Manuskript zu einem eigenständigen Buch aus, dem jedoch ebenfalls kein Glück beschieden war. Unter anderem wegen der Lücke in Dehns Beweis des wichtigen Lemmas über die Einbettung von Scheiben in dreidimensionale Mannigfaltigkeiten wurde Knesers Manuskript nicht fertiggestellt. In den dreißiger Jahren gab Kneser seinen Plan allmählich auf. Das umfangreiche Manuskript des Kneserschen Buches befindet sich mit einigen diesbezüglichen Briefen von und an Kerékjártó, van Kampen, Dehn und andere im Besitz von M. Kneser.
Reidemeister an H. Kneser, 6. Januar 1923. Reidemeister hoffte aufschnelle Erfolge: „Ob aus meinen jetzigen Graphen-Knotenplänen etwas wird, kann ich wahrscheinlich bis Ostern entscheiden.“
Diese sind besprochen in Stillwells Einleitungen zu (Dehn 1987).
Reidemeister an H. Kneser, 17. Juni 1923.
Reidemeister an H. Kneser, 17. 6. 1923.
Wiederum belegt durch (Artin 1925, 58).
Vgl. die entsprechende Bemerkung am Beginn von (Reidemeister 1926c).
Reidemeister an H. Kneser, 30. Juli 1925.
Als Beispiel gab er an: „Wenn man z.B. die Gruppen einer Verkettung von 2 unverknoteten Kurven nimmt, so sind die Elementarteilerinvarianten 0 (nicht 1) u. meine neue Invariante ist gleich der Anzahl der gegenseitigen Umschlingungen der Kurven. — Das ist leider Gottes maßlos trivial, u. mehr ein Fortschritt des Calcüls als der Topologie selbst.“
Genauer ausgeführt in (Reidemeister 1928a), vgl. unten.
Vgl. jedoch § 100 und § 102.
Vgl. z.B. (Reidemeister 1926a, 8).
Im behandelten Beispiel hätte das Endresultat bereits Heegaards und Tietzes Arbeiten entnommen werden können, da dort die zweiblättrige, über der Kleeblattschlinge verzweigte Überlagerung der S 3 als der Linsenraum L(3,1) bestimmt worden war; vgl. § 77 und § 81. Entscheidend ist aber, daß sich das neue Verfahren auf beliebige, durch Diagramme gegebene Knoten anwenden ließ.
Ich folge Reidemeisters Bezeichnungen (Reidemeister 1926a, 11 f.).
In einer durch Otto Schreier etwas vereinfachten Form ist Reidemeisters Verfahren zu einem wichtigen Werkzeug der kombinatorischen Gruppentheorie geworden; dazu ausführlich (Chandler und Magnus 1982, Abschn. II.3).
Dies schließe ich aus einer Bemerkung am Beginn von (Reidemeister 1928a): „Wichtig erscheint die explizite Formulierung der im folgenden zusammengestellten Existenzsätze übrigens deswegen, weil sich aus ihr die kürzlich von mir angegebene Methode, die Erzeugenden und definierenden Relationen einer Untergruppe zu bestimmen, in natürlicher Weise ergibt.“ Offensichtlich betrachtete Reidemeister die nun mitgeteilten Resultate (m.E. völlig zu Recht) nicht als etwas ganz Neues, sondern eher als die Explizierung eines bereits in den Techniken Poincarés angelegten Sachverhalts, der ihm (in mehr oder weniger ausgefeilter Form) bereits für seine Arbeit von 1926 als Hilfsmittel gedient hatte.
(Ebd., 71); die Bezeichnung g wurde um der Konsistenz willen abgeändert.
Reidemeister an H. Kneser, 20. 4. 1926.
Vgl. § 38. Diese Überlegungen waren Reidemeister natürlich unbekannt.
Hier argumentierte Reidemeister etwas vag; gemeint waren ebene Dreiecksdeformationen.
Kritische Leserinnen und Leser können sich von der anschaulichen Triftigkeit bzw. von der Wahrscheinlichkeit der Existenz eines strengen Beweises von Reidemeisters Behauptung leicht selbst überzeugen...
(Ebd., 30 f.) Auch dieses und das gleich folgende Invarianz-Argument werden Leserinnen und Leser, die der Darstellung bis hierhin gefolgt sind, ohne weiteres selbst finden können.
Artin dankte in der Einleitung der Arbeit Schreier, der ihn „bei der Abfassung dieser Arbeit tatkräftig unterstützt“ habe. Ich werde daher im folgenden auch Schreier als einen Autor dieser Arbeit behandeln.
Vgl. §§ 26,44 und 62. Bei Hurwitz wurden die den Artinschen Zöpfen σ i entsprechenden Zopfbewegungen durch die „Bahnen W i “ bezeichnet.
Man beachte, daß die zweite Relation der von Tait für „clear coils“ angegebenen äquivalent ist, wenn die Symbolik entsprechend übersetzt wird! Vgl. § 44, Fig. 5.10.
Insbesodere der Begriff der geschlossenen Zöpfe scheint mir vor allem durch den Wunsch nach einer topologisehen Interpretation des Konjugationsproblems motiviert.
Kneser wies sowohl auf die Note Brunns von 1897 (vgl. § 60) als auch auf das Argument Alexanders von 1923 hin, das im nächsten Kapitel näher beschrieben wird (§ 100). Weiths Dissertation von 1876, in welcher das Lemma zuerst aufgestellt wurde, scheint Kneser nicht gekannt zu haben.
Dies geht aus einer Bemerkung über „langwierige Rechnungen, mit denen wir zunächst durchzukommen hofften“ hervor (ebd., § 1).
In der Terminologie der Zeit noch als Isomorphismus bezeichnet.
Daß Artin diese Deutung gab und betonte, daß die Substitutionen Z auch auf diesem Weg (statt anhand der Wirtingerschen Methode) gefunden werden konnten, deute ich als Beleg für seine Kenntnis der Hurwitzschen Arbeit (ebd., § 6).
Ein weiteres Beispiel dafür folgt im nächsten Kapitel, in § 100.
Wie erfolgreich diese Verdrängung war, belegt die naive Bemerkung in einem modernen Lehrbuch: „There are few theories in mathematics the origin and author of which can be named so definitely as in the case of braids: Emil Artin invented them in his famous paper „Theorie der Zöpfe“ in 1925.“ (Bürde und Zieschang 1985,161.) Wilhelm Magnus’ wiederholte Hinweise auf die Arbeit von Hurwitz verhallten anscheinend ungehört, vgl. (Magnus 1974), (Chandierund Magnus 1982, 39 f.).
Dargestellt in Abschnitt 6.1.
Hier urteilte Artin vorschnell; vgl. (van Kampen 1928).
Vgl. besonders Carnaps Logische Syntax der Sprache (Carnap 1934).
Für den „alten“ Wiener Knoten-Empirismus vgl. § 59. — Daß hier nicht eine Buchstabensprache, sondern eine „Diagrammsprache“ Gegenstand der Untersuchung war, macht keinen wesentlichen Unterschied, da diese Diagrammsprache ohne allzugroße Mühe in eine Buchstabensprache übersetzt werden könnte, wie Gauß’ und Taits Schemata, Dehns Arithmetisierung der Knoten oder Artins Arithmetisierung der Zöpfe vorgeführt hatten.
(Menger 1988, 12 f.); vgl. außerdem die Reidemeister betreffenden Bemerkungen in (Menger 1994).
Z.B. von Hahn durch (Menger 1988) sowie von Menger und Carnap in ihren Autobiographien (Menger 1994) und (Camap 1963/1993). Beide hoben übrigens auch hervor, wie wichtig Hahn für ihre Verbindung zum Wiener Kreis war.
Reidemeister wirkte übrigens als einziger Mathematiker im Redaktionsbeirat des Philosophischen Anzeigers, in welchem dieser Aufsatz erschien. Herausgeber der Zeitschrift war der philosophische Anthropologe Helmuth Plessner.
Diese Differenz ist beispielsweise in Carnaps Beitrag zur Königsberger Tagung deutlich bezeichnet (Carnap 1931).
Eine Schallplattenaufnahme wurde dem 1971 von Reidemeister herausgegebenen Hilbert-Gedenkband beigelegt.
Vgl. Reidemeister an Schlick, 10. November 1929 und 4. März 1930; Philosophisches Archiv der Universitätsbibliothek Konstanz.
Zwei Enden einer Untersuchung der Modernität Reidemeisters muß ich hier offen lassen. Zum einen wäre näher zu fragen, ob und ggf. wie die im Umkreis der „Wiener mathematischen Moderne“, d.h. im Umfeld Hahns und Mengers gepflegte Auseinandersetzung mit den unanschaulichen Monstern der deskriptiven Mengenlehre und mengentheoretischen Topologie; vgl. dazu (Menger 1994) und historisch (Volkert 1986). Reidemeisters „Monstersperre“, d.h. sein Absehen vom Studium wilder Knoten, beeinflußt hat. Rei-demeister ging auf diese Fragen in seinem Aufsatz von 1928 näher ein, ganz ähnlich wie Hahn und Menger mit anschauungskritischer Tendenz. Ein zweites offenes Ende ist die überraschende und merkwürdige Beziehung zwischen den Zeichnungen der polygonalen Phase der Knotentheorie und den ungefähr zur selben Zeit entstandenen konstruktivistischen Zeichnungen etwa eines Paul Klee; vgl. dazu auch Mehrtens’ Bemerkungen zu Klee (Mehrtens 1990, 549–552).
Der folgende Bericht beruht auf Artikeln der Königsberger Tageszeitungen vom 21. November bis zum 3. Dezember 1930. U. a. wurden benützt: Königsberger Stadtspiegel, Königsberger Neueste Nachrichten, Königsberger Neuigkeiten, Königsberger Allgemeine Zeitung.
Der auf den ersten Weltkrieg zurückgehende Mythos der „Toten von Langemarck“ wurde in jenen Jahren zunehmend von der faschistischen Studentenschaft als identitätsstiftendes Symbol gebraucht, bevor er zum festen Bestandteil der nationalsozialistischen Ideologie wurde. Vgl. dazu (Ketelsen 1985).
Die Verbindung erkenntniskritischen Denkens mit politischer Kritik war für die Mitglieder des Wiener Kreises bekanntlich eher die Regel als die Ausnahme. Das gilt insbesondere auch für Reidemeisters Vertrauten Hans Hahn.
Über das genaue Datum der Entlassung und das formale Verfahren besteht Uneinigkeit in der Literatur. C. J. Scriba, Art. „Reidemeister“ im Dictionary of Scientific Biography, nennt April 33. Die Nachrufe legen sich nicht fest. (Schappacher und Kneser 1990,38) nennen den 23.9.33 für die Versetzung „an eine andere Universität“. Laut (Bachmann et al. 1972,3) hat Reidemeister aber erst 1934 die Nachfolge Helmut Hasses in Marburg angetreten; er „nutzte das Jahr der zwangsweisen Passivität zu einem längeren Studienaufenthalt in Rom“. Für weitere Details, u.a. eine Petition Blaschkes zugunsten Reidemeisters, die von Artin, Tietze, Wirtinger und Hasse, aber auch von anderen führenden Mathematikern wie Harald Bohr und Hermann Weyl mitunterzeichnet war, vgl. (Siegmund-Schultze 1998, 67 u. ö.).
Für eine Übersicht vgl. z.B. (Geier 1992, 81 ff.).
Vgl. die Einleitung Stecks zu (Proklos 1945).
Ein weiteres Zeugnis des inneren Rückzugs während der Nazizeit sind vermutlich auch die belletristischen „Figuren“ Reidemeisters, die kurz nach dem Krieg gedruckt wurden (Reidemeister 1946a).
Ein Schwerpunkt von Reidemeisters philosophischen Aktivitäten nach 1945 betraf femer eine Kritik der Existenzphilosophie Heideggers (Reidemeister 1954). Soweit ich sehe, verhallte diese aber weitgehend ungehört.
Eine Bemerkung Behnkes belegt, daß diese Schwierigkeiten aus den Erfahrungen der Nazizeit resultierten: „Seine Verbitterung gegen fast jedermann, die auch nach 1945 nicht geringer wurde — im Gegenteil hielt er damals ein gewaltiges Gericht ab — konnte ich nicht ertragen. So konnte ich ihm in seiner selbst gewählten Isolation nicht helfen.“ (Behnke 1978, 54.)
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1999 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Epple, M. (1999). Berechenbare Invarianten und Elementare Begründung: Kurt Reidemeister. In: Die Entstehung der Knotentheorie. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-80295-8_10
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-80295-8_10
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-322-80296-5
Online ISBN: 978-3-322-80295-8
eBook Packages: Springer Book Archive