Fraktale

Zusammenfassung

Das hauptsächliche Interesse an der fraktalen Geometrie rührt aus ihrer Anwendbarkeit auf die Modellierung der verschiedensten Naturphänomene sowie auch chaotischer Erscheinungen bei der Behandlung parameterabhängiger dynamischer Systeme her, die durch einen Satz nichtlinearer Differentialgleichungen beschrieben sind. Bei der Diskussion der Lösungen wird deutlich, daß durch Variation der Parameter neben stabilen Gleichgewichtszuständen nach einer Kaskade von Verzweigungen über eine Verdoppelung der Perioden immer höherperiodische Zustände entstehen [11]. Diese werden schließlich von chaotischem Verhalten abgelöst, das jedoch wieder eine Rückkehr zu regulären Lösungen erlauben kann. Wie schon Poincaré bemerkte, führen kleine Änderungen der Parameter, verursacht durch eine Störung, zu einem völlig anderen, nicht vorhersagbarem Lösungsverlauf. Es kommt zu einer Entstehung von seltsamen Attraktoren als Fixmengen als Fixmengen gewisser iterierter Funktionensysteme (IFS), komplexen Gebilden mit nichtganzer Hausdorff-Dimension und skalenunabhängiger Selbstähnlichkeit. Selbst bei regulärem Verhalten können die Grenzen zwischen Attraktoren fraktalen Charakter haben. So hat sich angeregt von B. Mandelbrot [160] die fraktale Geometrie mit dem zentralen Dimensionsbegriff in den letzten Jahren zu einem gleichwertigen Partner der klassischen Differentialgeometrie entwickelt. Mit ihrer Hilfe kann Ordnung in die chaotische Struktur der seltsamen Attraktoren und Licht in ihre Konstruktionsprinzipien wie das der Selbstähnlichkeit, der lokalen Dichte und des (Nicht-) Zusammenhangs gebracht werden.